二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数问题

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1 （2014北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（0，2） ，B（3，4） （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点 B 关于原点的对称点为 C，点 D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包 含 A，B 两点） 若直线 CD 与图象 G 有公共点，结合函数图象，求点 D 纵坐标 t 的取值范围考点： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值菁优网版权所有 专题： 计算题 分析： （1）将 A 与 B 坐标代入抛物线解析式求出 m 与 n 的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出 C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出 D 纵坐标的最小值，求出直线 BC 解析式， 令 x=1 求出 y 的值，即可确定出 t 的范围 解答：解：（1）抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（0，2） ，B（3，4） ，代入得：，解得：，抛物线解析式为 y=2x24x2，对称轴为直线 x=1；（2）由题意得：C（3，4） ，二次函数 y=2x24x2 的最小值为4，由函数图象得出 D 纵坐标最小值为4，设直线 BC 解析式为 y=kx+b，将 B 与 C 坐标代入得：，解得：k= ，b=0，直线 BC 解析式为 y= x，菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网当 x=1 时，y= ，则 t 的范围为4t 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解本题的关键2 （2011石景山区二模）已知：抛物线与 x 轴交于 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交于 C（0，4） （1）求抛物线顶点 D 的坐标； （2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛 物线与线段 EF 总有公共点试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长 度？考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有 专题： 探究型 分析：（1）先设出过 A（2，0） 、B（4，0）两点的抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x4） ，再根据抛物线与 y 轴的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移 m 各单 位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取 值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位 解答：解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+2） （x4） ，C 点坐标为（0，4） ，a= ， （1 分）解析式为 y= x2+x+4，顶点 D 坐标为（1， ） ；（2 分）（2）直线 CD 解析式为 y=kx+b菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网则，直线 CD 解析式为 y= x+4， （3 分）E（8，0） ，F（4，6） ，若抛物线向下移 m 个单位，其解析式 y= x2+x+4m（m0） ，由消去 y，得 x2+ xm=0，= 2m0，0m ，向下最多可平移 个单位 （5 分）若抛物线向上移 m 个单位，其解析式 y= x2+x+4+m（m0） ，方法一：当 x=8 时，y=36+m，当 x=4 时，y=m，要使抛物线与 EF 有公共点，则36+m0 或 m6，0m36；（7 分）方法二：当平移后的抛物线过点 E（8，0）时，解得 m=36，当平移后的抛物线过点 F（4，6）时，m=6， 由题意知：抛物线向上最多可以平移 36 个单位长度， （7 分）综上，要使抛物线与 EF 有公共点，向上最多可平移 36 个单位，向下最多可平移 个单位点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函 数与一次函数的交点问题，有一定的难度3 （2013丰台区一模）二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为 M（1，4） （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合 新图象回答：当直线 y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求 n 的取值范围菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换菁优网版权所有 分析： （1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式 （2）求出两个边界点，继而可得出 n 的取值范围 解答：解：（1）因为 M（1，4）是二次函数 y=（x+m）2+k 的顶点坐标，所以 y=（x1）24=x22x3，（2）令 x22x3=0，解之得：x1=1，x2=3，故 A，B 两点的坐标分别为 A（1，0） ，B（3，0） 如图，当直线 y=x+n（n1） ， 经过 A 点时，可得 n=1， 当直线 y=x+n 经过 B 点时，可得 n=3，n 的取值范围为3n1，翻折后的二次函数解析式为二次函数 y=x2+2x+3当直线 y=x+n 与二次函数 y=x2+2x+3 的图象只有一个交点时，x+n=x2+2x+3，整理得：x2x+n3=0，=b24ac=14（n3）=134n=0，解得：n=，n 的取值范围为：n，由图可知，符合题意的 n 的取值范围为：n或3n1菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时 n 的值4 （2009北京）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k1=0 有实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x 的二次函数 y=2x2+4x+k1 的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线 y= x+b（bk）与此图象有两个公共点时，b 的取值范围考点： 二次函数综合题菁优网版权所有 专题： 综合题 分析： （1）综合根的判别式及 k 的要求求出 k 的取值； （2）对 k 的取值进行一一验证，求出符合要求的 k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；（3）求出新抛物线与 x 轴的交点坐标，再分别求出直线 y= x+b 经过点 A、B 时的 b 的取值，进而求出其取值范围本题第二问是难点，主要是不会借助计算淘汰不合题意的 k 值 解答：解：（1）由题意得，=168（k1）0k3 k 为正整数， k=1，2，3；菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网（2）设方程 2x2+4x+k1=0 的两根为 x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=当 k=1 时，方程 2x2+4x+k1=0 有一个根为零；当 k=2 时，x1x2= ，方程 2x2+4x+k1=0 没有两个不同的非零整数根；当 k=3 时，方程 2x2+4x+k1=0 有两个相同的非零实数根1综上所述，k=1 和 k=2 不合题意，舍去，k=3 符合题意当 k=3 时，二次函数为 y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为 y=2x2+4x6；（3）设二次函数 y=2x2+4x6 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，则 A（3，0） ，B（1，0） 依题意翻折后的图象如图所示当直线 y= x+b 经过 A 点时，可得 b= ；当直线 y= x+b 经过 B 点时，可得 b= 由图象可知，符合题意的 b（b3）的取值范围为b （3）依图象得，要图象 y= x+b（b 小于 k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段而因式分解得 y=2x2+4x6=2（x1） （x+3） ，第一段，当 y= x+b 过（1，0）时，有一个交点，此时 b= 当 y= x+b 过（3，0）时，有三个交点，此时 b= 而在此中间即为两个交点，此时 b 第二段，将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折后，开口向下的部分的函数解析式为 y=2（x1） （x+3） 显然，当 y= x+b 与 y=2（x1） （x+3） （3x1）相切时，y= x+b 与这个二次函数图象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点因为 b3，而 y= x+b（b 小于 k，k=3） ，所以当 b=3 时，将 y= x+3 代入二次函数 y=2（x1） （x+3）整理得，4x2+9x6=0，0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点这种情况故舍去综上， b 菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网点评： 考查知识点：一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考到了与一次函数的 结合等问题不错的题目，难度不大，综合性强，考查面广，似乎是一个趋势或热点5 （2012东城区二模）已知关于 x 的方程（1m）x2+（4m）x+3=0（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）若正整数 m 满足 82m2，设二次函数 y=（1m）x2+（4m）x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当 直线 y=kx+3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的 k 值即可） 考点： 二次函数综合题菁优网版权所有 分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式可求 m 的取值范围； （2）先求出正整数 m 的值，从而确定二次函数的解析式，得到解析式与 x 轴交点的坐标，由图象可知符 合题意的直线 y=kx+3 经过点 A、B从而求出 k 的值 解答：解：（1）=（4m）212（1m）=（m+2）2，由题意得， （m+2）20 且 1m0故符合题意的 m 的取值范围是 m2 且 m1 的一切实数 （2）正整数 m 满足 82m2，m 可取的值为 1 和 2又二次函数 y=（1m）x2+（4m）x+3，m=2（4 分）二次函数为 y=x2+2x+3A 点、B 点的坐标分别为（1，0） 、 （3，0） 依题意翻折后的图象如图所示 由图象可知符合题意的直线 y=kx+3 经过点 A、B菁优网菁优网 www.jyeoo.com©2010-2014 菁优网可求出此时 k 的值分别为 3 或1（7 分）注：若学生利用直线与抛物线相切求出 k=2 也是符合题意的答案点评： 本题考查了二次函数综合题 （1）考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不 相等的实数根 （2）得到符合题意的直线 y=kx+3 经过点 A、B 是解题的关键6在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+ mx+m23m+2 与 x 轴的交点分别为原点