电网络第六章网络函数与稳定性

1、2018/9/30,1,第六章 网络函数与稳定性,2018/9/30,2,6-1 线性网络的网络函数,一、网络函数的定义 H(s)是复频率s的函数。: 当sj时,H(s)即为正弦稳态下的网络函数H(j), 即H(j)H(s)sj ,2018/9/30,3,网络函数分类: 1.驱动点函数Z（s）2.转移函数 T（s） 定义：如果激励和响应位于同一端口,则网络函数称为驱动点函数(Driving Point Function),否则称为转移函数或传递函数(Transfer Function)。驱动点函数,2018/9/30,4,转移函数,2018/9/30,5,二、网络函数的性质,(1)由于线性时不变电路中元件的参数为实数值,故所列出的复频域代数方程为s的实系数代数方程,因此,网络函数一定是s的实系数有理函数,即 证明 H(s)的分子、分母多项式的根 的分类：,2018/9/30,6,(a)一阶实数;(b)一阶共轭虚数;(c)一阶共轭复数;(d)二阶及以上实数、共轭虚数、共轭复数。 (2)当E(s)1时,H(s)R(s)。而E(s)1表示e(t)(t),所以,网络函数H(s)为电路的冲激响应

2、h(t)的象函数,即 :网络零状态响应的象函数等于网络函数与外加激励函数之积,即,2018/9/30,7,(3)设网络由阻抗、导纳和四种类型的受控源组成。令网络中的一些元件或全部元件的特性由各个不相同的变量x1,x2,xn表征,其余元件指定数值,则任一转移函数T都可表示为两个都是变量xk的一次多项式之比。 证明 (4)通常H(s)和E(s)均为复频率s的有理分式,即,2018/9/30,8,设D(s)和Q(s)具有单根,应用部分分式展开,得 则R(s)对应的原函数为 :网络的零状态响应由两部分组成,第一部分与网络函 数分母D(s)的特征根有关,为响应中的自由分量;第二 部分则与网络激励有关,为响应中的强迫分量。,2018/9/30,9,H（s）的因子形式：对于多输入和多输出情形 H（s）称为网络函数矩阵 。,2018/9/30,10,三、网络函数的计算,对于单输入单输出(SISO)网络,频域方程的形式为A为n阶方阵,bb1,b2,bnT为n维列向 量,X为n维未知量列向量,Us为输入。 设 X的第i个分量Xi为输出,则运用克莱姆法则 (Cramers Rule), 网络函数TXiUs可

3、表示为,为A的行列式,ki为A的相应代数余子式。,2018/9/30,11,增广网络(Augmented Network) 将网络中的独立电源转换成同一类型的受控源,控制量为输出Xi,控制系数为p(不同于网络的其它量),即 ，这样的网络称为增广网络。 对于增广网络,其方程为 或者,2018/9/30,12,对上式第i列应用拉普拉斯展开(Laplace Expansion),可 得:c中不含p的项之和就是;含p的项之和即为pN。如果取p1/T,得 例题,2018/9/30,13,四、网络函数的极零点图,把网络函数的极点和零点在s平面上的位置分布图(零点用“O”表示,极点用“”表示,r阶极点用 表示),称为该网络函数的极零点图。 例题 极点分布与原函数波形的对应关系 若 ,其对应的原函数是按指数衰 减的,即 t 时，hi(t)趋进于零。,2018/9/30,14,若 ,对应的原函数为 当t 时，hi(t)趋近于零。若 其对应的原函数为衰减振荡 ，即当t 时，hi(t)趋近于零。 :当极点位于s平面的右半开平面,即Repi0时,类似地可以说明,当t时,hi(t)趋近于。,2018/9/30,

4、15,极点位于虚轴上时 若 ，其原函数是阶跃函数,即若 ，其对应的原函数为等幅振荡,即 :若极点是位于虚轴上的一阶以上极点时,则当t 时,hi(t)。,2018/9/30,16,?,2018/9/30,17,结论： 当极点分布在s平面的左半开平面时,hi(t)随着t,而 趋近于零,当极点分布在s平面的右半开平面时,hi(t)随 着t亦将趋向无穷大;当极点是位于s平面虚轴上的 一阶极点时,hi(t)是有界的,而当极点是位于s平面虚轴 上的一阶以上极点时,hi(t)随着t亦将趋向无穷大。,2018/9/30,18,五、频率特性,在正弦稳态之下 ，H(j)又可写成极坐标形式 ： H()H(j)为网络函数的模 。 幅频特性 ()为网络函数的辐角 。,2018/9/30,19,相频特性 例题 结论： (1)H()是频率的偶函数,即H()H(); (2)()是频率的奇函数,即()()。 证明,2018/9/30,20,H(j)是H(s)在sj的特例 由 得,2018/9/30,21,:零极点的位置及常数H0完全决定了H(s)的幅频特性及相频特性。,2018/9/30,22,网络函数的实部与虚部的关

5、系 对于线性因果网络,在t0时,冲激响应h(t)0。 由傅立叶反变换公式得,2018/9/30,23,将上面两式相加或相减 :仅由H(j)的实部或虚部就能够决定t0时的h(t)。 设 h(t)不含(t),h(0)存在，其中,2018/9/30,24,且根据频域卷积定理,得,未完成,希尔伯特(Hilbert)变换。,2018/9/30,25,正弦稳态下 ，群延时(简称延时),2018/9/30,26,六、双二次网络函数,双二次网络或双二次节(Biquads) 用来实现双二次网络函数的电路。,2018/9/30,27,双二次网络函数H(s)定义分类： 低通(Lowpass)滤波器(e0,c0,d1) 高通(Highpass)滤波器(e1,c0,d0),2018/9/30,28,带通(Bandpass)滤波器(e0,c1,d0),带阻(Bandstop)滤波器(e1,c0,d0),全通(All-pass)滤波器(e1,ca,db),2018/9/30,29,分类：,单运放二次节 双运放二次节 三运放二次节 四运放二次节,负反馈 正反馈 无限增益,定义无源RC网络的前馈和反馈转移函数分别为,2

6、018/9/30,30,根据叠加定理,得 A为运放的开环放大倍数。 则整个网络的转移函数为， 当A时,2018/9/30,31,将TFF和TFB写成两个多项式之比,即: 负反馈电路的转移函数的极点由RC网络反馈转移函数的零点决定,而转移函数的零点则由RC网络的前馈转移函数的零点来决定,二者均与RC网络的极点无关。,2018/9/30,32,对于较高频率, 采用运放的单极点模型: 双极点模型:,为运放增益带宽积的倒数,为确定运放第二个极点位置的参数。,2018/9/30,33,七、由转移函数编写状态方程,对于单输入单输出的线性时不变网络,引入一个辅助变量X(s) ，,N(s)和D(s)均为复变量s的有理多项式。,2018/9/30,34,取拉反变换,得定义x(t)及其各阶导数为状态变量,即 状态方程为,2018/9/30,35,输出方程为,卡尔曼(Kalman)第一形式,例题,2018/9/30,36,6-3 信号流图,一、信号流图的基本概念 信号流图(Signal Flow)是一种支路带有加权的有向图。,2018/9/30,37,常用术语,方向离开节点xk的支路称为节点xk的输出支路;

7、方向指向节点xk的支路称为节点xk的输入支路。 源点 仅有输出支路的节点,又称为输入节点或发点 汇点 仅有输入支路的节点,又称为输出节点或收点 混合节点 既有输入支路,又有输出支路的节点 通路 从任一节点出发沿着支路方向连续穿过各相连支路到达另一节点的路径。 前向通路 从源点到汇点的通路。,2018/9/30,38,回路 终点与起点相同的通路,又称反馈回路或环路。仅由一条支路构成的回路称为自环。 不切触回路 相互之间没有公共节点的一组回路。两个回路不切触时称为不切触二重回路,n个回路不切触时称为不切触n重回路 。 前向通路增益 前向通路中所有支路的增益之积。 回路增益 回路中所有支路的增益之积。 不切触回路增益 不切触回路中所有回路的增益之积。,2018/9/30,39,基本性质,(1)齐次性 信号流图中的信号只能沿支路箭头方向传输,支 路的作用是处理信号,支路的输出是该支路的输入与 支路增益的乘积。,2018/9/30,40,(2)可加性节点的作用是将输入到节点的信号求和,并通 过节点的输出支路把求和所得信号分配给其它节点。 即当节点有几个输入时,节点将所有输入支路的信号 相加作为节

8、点信号的值,并将该值传输给所有与该节 点相连的输出支路。,2018/9/30,41,二、信号流图的画法,1.从线性代数方程组到信号流图 。 信号流图的节点数为方程组的变量数加上输入数。,2018/9/30,42,2.从网络到信号流图,先由网络写出网络方程,再由网络方程画出信号流图。,2018/9/30,43,把连支电流用树支电压表示,得 将树支电压用连支电流表示,得信号流图为,2018/9/30,44,当电路中含有受控源时,受控电流源的受控支路应选为连支,受控电压源的受控支路应选为树支。 信号流图为,2018/9/30,45,除了选择树支电压和连支电流作为变量列写方程外,还可选择其他混合变量。 信号流图为(b),(b),(a),2018/9/30,46,三、信号流图的等效变换,(1)串联化简(2)并联化简(3)自环的消除,2018/9/30,47,(4)化分规则(5)反馈的消除,例题,2018/9/30,48,四、Mason公式,定义：其中是对所有回路增益求和是对所有不切触的m重回路增益积求和(m2,3,);表示由源点到汇点的第k条前向通路的标号;表示第k条前向通路增益;是把第k条前向

9、通路中的节点全部移去后所得子图的行列式。,2018/9/30,49,1、 该信号流图的行列式为,2018/9/30,50,前向通路有两条,即 代入Mason公式,得 2、闭信号流图的增益H为,2018/9/30,51,将开信号流图的Mason增益公式 代入上式,得 闭信号流图的行列式为,2018/9/30,52,3、,2018/9/30,53,（原）信号流图的增益为,2018/9/30,54,五、用信号流图列写状态方程,相关概念： 1、电压双图 2、电流双图,(a),(b),(c),2018/9/30,55,对于图(a)所示的信号流图,由混合节点k可得 由节点l得支路反转变换,(a),(b),2018/9/30,56,添加支路约束方程只能从汇点 引一支路到源点 。 树支的方程应采用阻抗表示, 即流控形式;连支的方程采用 导纳表示,即压控形式。,(a),(b),(c),2018/9/30,57,(a),(b),2018/9/30,58,(c),(d),2018/9/30,59,6-5 稳定性的基本概念,稳定的与不稳定的 处于平衡状态下的网络,受到扰动时,不管扰动如何小,如何短暂,都会引起网络响应无限增长,则网络是不稳定的;如果扰动消失后,其所引起的响应会最终消失,则网络是稳定的。 分类： 有界输入有界输出稳定(BIBO稳定,简称输入输出稳定(IO稳定)。 李亚普诺夫(Lyapunov)稳定。,

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