与圆锥曲线有关的最值问题
20页1、与圆锥曲线有关的最值 问题如果函数y=f(x)在点的附近有定义,并且的值比在附近所有各点的函数值都大(或都小),那么称是函数f(x)的极大值(或极小值)。函数y=f(x)在区间内有定义,如果在上的一点处的函数值不小于(或不大于)函数在上其余各处的函数值,那么称是函数y=f(x)在区间上的最大值(或最小值)。函数y=f(x)在区间上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值中的最大者;最小值则是在上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。与圆锥曲线的关的最值问题,往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。下面分类介绍解析几何中求最值的方法一、平面几何法例1、在抛物线上求一点M,使点M致到点A(1,0)和点B(3,2)两点距离之和最小,并求这最小值。xy MABloN解:如图,作抛物线的准线l:x=-1,再作于N点。为抛物线的焦点,显然,B、M、N三点共线且直线时,|MN|+|MB|最小,也即|MA|+|MB|最小。此时M(1,2)例2、已知点O(0,0)、B(m,0)(m0),动点P到O、P的距离之比为2:1,求(1)P点的轨迹方程;(2)P点在什么位置时,三角形POB的
2、面积最大,并求出最大面积。yxABPPPo解:(1)设P(x,y) 由已知,|PO|:|PB|=2:1化简,得即P点轨迹为以A为圆心,为半径的圆。(2)如图,三角形POB的一边OB(定长)在x轴 上,另一顶点P在以A点为圆心的圆上,由平面几 何知识,知当P点是与x轴垂直的直径的两端时, 三角形POB的面积最大。过点A且与x轴垂直的直线方程为它与圆A交于故P点坐标为时,三角形POB的面积最大,其值为例3、已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆内的两定点,M是椭圆上一动点,求|MA|+|MB|的最值。解:设椭圆左焦点为A(-4,0)。显然A(4,0)为椭圆右焦点,因而由椭圆定义得|MA|+|MA|=10xyo MABAxyoAAMB如上图所示:|MA|+|MB| =|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10+|MB|-|MA|如下图所示:|MA|+|MB|=|MA|+|MA|+|MB|-|MA| =10-(|MA|-|MB|)说明:在用平面几何法求最值问题时,主要利用平面几何的以下几个重要概念:(1)两点间线段最短;(2)点到直线的一切线段中,垂线段最短。(3)同圆的一切弦中,直径最长。二
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