与圆锥曲线有关的最值问题
与圆锥曲线有关的最值 问题如果函数y=f(x)在点的附近有定义，并且的值比在附近所有各点的函数值都大（或都小），那么称是函数f(x)的极大值（或极小值）。函数y=f(x)在区间内有定义，如果在上的一点处的函数值不小于（或不大于）函数在上其余各处的函数值，那么称是函数y=f(x)在区间上的最大值（或最小值）。函数y=f(x)在区间上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值中的最大者；最小值则是在上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。与圆锥曲线的关的最值问题，往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。下面分类介绍解析几何中求最值的方法一、平面几何法例1、在抛物线上求一点M，使点M致到点A（1，0）和点B（3，2）两点距离之和最小，并求这最小值。xy MABloN解：如图，作抛物线的准线l:x=-1,再作于N点。为抛物线的焦点，显然，B、M、N三点共线且直线时，|MN|+|MB|最小，也即|MA|+|MB|最小。此时M（1，2）例2、已知点O（0，0）、B（m，0）（m>0)，动点P到O、P的距离之比为2：1，求（1）P点的轨迹方程；（2）P点在什么位置时，三角形POB的面积最大，并求出最大面积。yxABPPPo解：（1）设P（x,y) 由已知，|PO|：|PB|=2：1化简，得即P点轨迹为以A为圆心，为半径的圆。（2）如图，三角形POB的一边OB（定长）在x轴 上，另一顶点P在以A点为圆心的圆上，由平面几 何知识，知当P点是与x轴垂直的直径的两端时， 三角形POB的面积最大。过点A且与x轴垂直的直线方程为它与圆A交于故P点坐标为时，三角形POB的面积最大，其值为例3、已知A（4，0）、B（2，2）是椭圆内的两定点，M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最值。解：设椭圆左焦点为A（-4，0）。显然A（4，0）为椭圆右焦点，因而由椭圆定义得|MA|+|MA|=10xyo MABAxyoAAMB如上图所示：|MA|+|MB| =|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10+|MB|-|MA|如下图所示：|MA|+|MB|=|MA|+|MA|+|MB|-|MA| =10-（|MA|-|MB|）说明：在用平面几何法求最值问题时，主要利用平面几何的以下几个重要概念：（1）两点间线段最短；（2）点到直线的一切线段中，垂线段最短。（3）同圆的一切弦中，直径最长。二、一次函数法例4、三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，圆O为内切圆，设P为圆上一 点，求发PA、PB、PC为直径的三圆面积之和的最值。xyoABCEP D解：如图，以圆心O为原点，以过O且平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，设P（x,y)。 易知A（-1，2）、B（-1，-1）、C（3，-1）则所求面积之和为：例5、已知椭圆两焦点为M点为椭圆上动点，求f(M)的最值，并求此时M点的坐标。由已知，a=5，b=4，c=3三、二次函数法例6、P为抛物线上的动点，求P点到直线4x+3y+46=0的最短距离。解：设P(x,y)则P点到直线4x+3y+46=0的距离yxo PxyoM四、判别式法例7、求曲线的最高点、最低点的坐标.解：曲线化为：化简，得解之，得因此，所求最高点为（6，9），最低点为（4，5）例8、A、B为抛物线上两个动点，且|AB|=3，线段AB中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时M点的坐标。将（1）、（2）代入（3）得：yxoABM又AB中点M到y轴距离代入（4），得化简，得所以，此时M点纵坐标为因此，M点到y轴最短距离为此时 M点坐标为 五、切线性质法例9、已知P(x,y)为椭圆上任一点，求u=2x+3y的最值。解：由u=2x+3y,得求u的最值，就是求与椭圆有公共点且斜率为的平行直线系在y轴上截距的最值。xyoxoy MNBA由切线性质可知,当直线与椭圆相切时,u取最值.椭圆的切线方程为例10、已知A（3，1）、B（-2，-2）是椭圆上两定点，M、N是椭圆上位于直线AB两旁的两动点，求四边形AMBN的最大面积。分析：如图所示，都平行于直线AB时，过M、N的四边形AMBN有最大面积。六、三角法例11、已知动点P(x,y)在曲线上运动，求x,y各取何值时，代入原方程，得CPRQAxyo例12、如图，已知点P是圆C：上一点，它关于定点A（5，0）的对称点为Q，当点P绕圆心C（5，5）依逆时针旋转时，所得点记作R，当点P在圆C上移动时，求|QR|的最值。解：设P点、R点坐标为R点坐标亦即CABoxy七、平均值定理法例13、如图，平面直角坐标系中，在y轴正半轴上给定两点A、B，试在x轴正半轴上求一点C，使取得最大值。说明:此题是1986年高考(理科)试题,解此题的关键是通过三角变换,构造出关系式(1),再利用平均值定理求解.例14、以双曲线xy=a(00),点M在 直线l上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足2、在三角形ABC中，所对的边分别为a,b,c，且c=10，P为三角形ABC内切圆上动点，求点P到A、B、C到距离平方和的最值。3、已知A（3，-4）、B（4，-2），C在圆上，求三角形面积最小时，C点坐标。14、已知曲线C：设Q是曲线C上任一点，试用a表示d。6、点P在圆A：上运动，点M在椭圆B：上运动，求|PM|的最值。8、已知曲线C：当为何值时，上述曲线被直线x=14截得的弦最长或最短，并求出此时的弦长。
