[2017年整理]高斯积分点以及有限元中应用
19页1、高斯积分法高斯积分法在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时,需用到如下形式的定积分:其中被积分函数f(,)一般是很 复杂的,即使能够得出它的显式,其积分也 是很繁的。因此,一般用数值积分来代替函 数的定积分。高斯积分法数值积分:在积分区域内按一定规则选出 一些点,称为积分点,算出被积函数f(, ,)在这些积分点处的值,然后再乘以相 应的加权系数并求和,作为近似的积分值。数值积分的方法有多种,其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度,或 者说用较少的积分数达到同样的精度。高斯积分法一、一维积分的高斯公式其中f(i)是被积函数在积分点i处的数值,Hi为 加数系数,n为积分点数目。 对于n个积分点,只要选取适当的加数系数及积分点位 置,能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精 确成立。 由于多数函数可表示成多项式形式,这种积分适应 于大多数函数。 高斯积分法例如,n=1时不论f()的次数是0还是1,只需取H=2, 1,上式均是精确成立的。因为高斯积分法当n=2时,能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3,此时,f()的通式为其精确积分为数值积分为高斯积分法
2、为了在C0C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的,显然应有所以,应取, , 高斯积分法ln个插值结值结 点非等距分布结结点和积积分权权系数可以查查表高斯积分法二维积分的高斯公式 以一维高斯积分公式为基础,导出二维及三维公式。求二维 重积分的数值时,可以先对、进行积分,或改写成这就是二维的高斯积分公式。高斯积分法三维积分的高斯公式 同样,可以求得三维高斯积分公式:中的n,m,l是分别关于变量,的积分点数目。 各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定,一般并不要求相同。但为应用方便,常常 在各个方向取相同的积分数,即统一为最高值高斯积分法由前面的推导可见,当在每个方向取n个积分点时,只要多项式被积函数中自变量的次数m2n-1,则用高斯求积公式求得的积分值是完全精确的。反过来,对于m次多项式的被积函数,为了积分值完全精确,积分点的数目必须取 。高斯积分法高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数,求出被积分的函数在指定积分点上的数 值,加权后求和,就得到了该函数的积分。高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-
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