东莞市第四高级中学2010-2011第二学期高一数学竞赛试题卷

1、2010-20112010-2011 第二学期第二学期东莞市第四高级中学高一数学竞赛试卷东莞市第四高级中学高一数学竞赛试卷一、选择题（一、选择题（6*6=366*6=36 分，每题仅有一个正确选项符合题意）分，每题仅有一个正确选项符合题意）1已知集合 M=x | xN 且 8xN ， 则集合 M 的元素个数最多为（ ）A7 B8 C9 D102、下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A B C D3、对每一个实数 x,，函数 f (x)取 sin x 和 co s x 中的较大者，则函数 f (x)的值域为 ( ) A 、 B、 C、 D、2 ,22 1 , 1 2, 1 1 ,224、一位商人有 15 枚银元,其中有一枚较轻的是假银元,用天平(不含法码)将假银元找出来,最多要称 ( ) A、 1 次 B、 2 次 C、 3 次 D、 4 次5、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x)的图象恰好经过k(kN*)个格点，则称函数 f(x)为 k 阶格点函数.下列函数中：f (x)sinx；f (x)=(x1)23；f (x)( )

2、x；f (x)log0.6x ，其中是一阶格点函数的有（ 1 3）.A、 B、 C、 D、6、如图，圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次可跳两个点该蛙从 5 这点跳起，经 2011 次跳后它将停在的点是（ ）、 、 、 、A1B2C3D4二、填空题（二、填空题（6*6=366*6=36 分）分）7、若向量._),3 , 2(),2 , 1(上上上上上上上上上上上上上baaba 8、已知函数由下表给出，则满足的x的( )f x( ( )2f f x值是 _ .9、 在平面直角坐标系内，有四个定点 A(3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D(1，3)及一个动点 P，则 |PA|+|PB|+|PC|+|PD| 的最小值为 。10、如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不ABCOBCOABAC同的两点，若，则的值为MN，ABmAM ACnANmn11、有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为 1，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠） ，那

3、么包装纸的最小边长应为_ .12、设表示不大于的最大整数，集合， xx2 |2 3Ax xx1 |288xBx则 _AB x123f(x)231BAONCM15423三、解答题（共三、解答题（共 6 6 道题，总计道题，总计 7878 分）分）13、 （12 分）已知函数，( )2sin(2)4f xxRx（1）求函数在内的单调递减区间；)(xf, 0（2）若函数在处取到最大值，求的值)(xf0xx )3()2()(000xfxfxf14、 （13 分）如下茎叶图为某班男女各 4 名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这 8 名学生中，抽取男女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率15、(13 分) 如图，在四边形ABCD中，R)，, (BCAD 2,2 3ABADCBCD 且BCD是以BC为斜边的直角三角形. 求：(1)的值； (2) 的值BACD7 5 7 14 5 06 6 7 8女女男男（第 14 题图）ABCD（第 15 题图）ABCDA1B1C1PD1Q16、(13 分)长方体中，点在上运1111DCBAABCD 1 ADAB21AAP1DD动（1）证明：无论点 P

4、 在何处，总有平面平面；1DD11BBDDPAC（2）若点 Q 是BB1的中点，试确定点 P 的位置，使得平面。1QDPAC17(13 分) 已知圆 C 满足：截y轴所得弦长为 2；被x轴分成两段圆弧，且两段弧长的比例为 3：1；圆心到直线l：x2y=0 的距离为求该圆的方程5518、已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：0,1( )f x1 对任意的，总有；0,1x( )0f x 2 ；(1)1f3 当，且时，有成立，10x 20x 121xx1212()()()f xxf xf x就称为“友谊函数” ，请解答下列各题：( )f x(1)若为“友谊函数” ，求的值；( )f x(0)f(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.( )21xg x 0,1(3)已知为“友谊函数” ，假定存在，使得且( )f x00,1x 0()0,1f x，00 ()f f xx求证：.00()f xx2010-20112010-2011 第二学期第二学期东莞市第四高级中学高一数学竞赛答案东莞市第四高级中学高一数学竞赛答案一、选择题解析（一、选择题解析（6*6=366*6=36 分）分）1 （

5、C）由，故集合中最多有 9 个元素；8,.,3 , 2 , 1 , 080080 xxxx2、 （B）三条线均与圆所在平面垂直，可排 A，三条线不可能相交排 C；只有两个面没有直线可排 D；对于 B，圆所在的平面在左视图方向。3、 （D）由题意在同一坐标系下画出 sinx 和 cosx 的图象易得（略）4、 （C）第一次分成 7 块对 7 块称；第二次将轻的一组再分成 3 块对 3 块称；第三次，将轻的那组分成 1 块对 1 块称，无论第三次称时是否能分出轻重，都能确定假银元。（此题的本质是考二分法）5、 （D）对f (x)sinx有唯一格点（0，0） ；对f (x)=(x1)23 有唯一格点（1，3） ；对f (x)( )x，当 x 取负整数时有无数个格点；对f (x)log0.6x 有唯一格点（1，0）1 36、 （A），则有由上上上上上上上上上nan.4, 2, 1, 4, 21654321 aaaaaa上此可知，周期为 3，又 2011/3=670。 。 。1，故。112011 aa二、填空题解析（二、填空题解析（6*6=366*6=36 分）分）7、设.223|cos|),1

6、, 1( caca|baabac 上上上上上上上上上8、已知函数由下表给出，则满足的x的( )f x( ( )2f f x值是 2 或 3 _.（列举即得）9、。（利用三角形不等式：因为 PA+PCAC，PB+PDBD，当5223 x123f(x)231BAONCM15423且仅当 P 为 AC 和 BD 的交点时同时取等号，请画图思考）10、2法一：（极限位置分析法）当 MN 与 BC 重合时，显然有 m=n=1,故得 m+n=2;法二：因为ANnAMmACABAO22)(21 设则ANyAMxAO 2,2nymx 又由 M、O、N 三点共线得：x+y=1， （见必修 4 同步 P42 拓展 2）故得：m+n=211、.（展开图为中心对称图形，当以四个顶点的连线为边构成正方形时满足题262 意，此时新正方形的对角线长为，易得新正方形的边长，自己画图思考）31 12、 由 B 得：-3x3 , 可知x=7, 1 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3 由 A 得：x2=2x+3；显然x不能取；2, 3 当x=时，x2=2x+3=1，解得 x=（x=1 不合前提条件）1 1 当x= 0

7、时，x2=2x+3=3，解得 x=均不合前提条件；3 当x= 1 时，x2=2x+3=5，解得 x=均不合前提条件；5 当x= 2 时，x2=2x+3=7，解得 x=（x=不合前提条件）77 （点拨：高斯函数的本质是分段函数，故需分类讨论）三、解答题解析三、解答题解析13、 （12 分）解：（1）函数在内的单调递减区间为：；)(xf, 087,83 （2）由已知得：当时，函数取到最大值 2；1)42sin( x)(xf此时有，解得；2242 kxZkkx ,83 0 故，2)(0 xf;245sin2)454sin(2)44sin(2)2(00 kxxf; 0)26sin(2)46sin(2)3(00 kxxf故有=)3()2()(000xfxfxf ;22 14、 （13 分）解：用（x,y）表示抽出的男生和女生得分情况， 7 5 7 14 5 06 6 7 8女女男男（第 14 题图）ABCDA1B1C1PD1Q则基本事件共有 4*4=16 种不同的结果，如下所示：（64，67） （64，75） （64，77） （64，81） （70，67） （70，75） （70，77） （70

8、，81） （75，67） （75，75） （75，77） （75，81） （86，67） （86，75） （86，77） （86，81） （前者表示男生的得分，后者表示女生的得分）记事件 A=“女生得分不低于男生得分”则事件 A 共包含 10 种不同的结果，即：。 。 。 。 。由古典概型的概率公式得：即为所求。85 1610)( AP15、(13 分) 解：（1）过点 A 作 AEBD 于 E 点，因为，则点 E 为 BD 的中点；2| ADAB又由，32| DBCDCB在 RtAEB 中，易得，ABD=ADB =30 0，3 EDBE又由030/ ADBCBDBCADADBC 则在 RtBDC 中，BC，故4 30cos0 BD22 ADBC（2）202|30cos|)(BABABDBABABDBABABDBACD 即为所求。2423232 16、(13 分)思路点拨：思路点拨：（1）转化证明平面；AC11BBDD（2）取 DD1的中点 E，连结 BE，设 AC 与 BD 交点为 O，再取 DE 的中点 P，连结 OP，则易证明：OP/BE/1QD从而可证：平面。1QDPAC17(13 分) 解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|ABCD（第 15 题图）由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为 90，知圆P截x轴所得的弦长为故r2r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为 2

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