等差数列及性质教学教案
6页1、1等差数列等差数列(一) 创设情境,课题导入 复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映 了数列的特点,下面我们来看这样的一些数列: 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题:以上四个数列有什么共同的特征?请同学们互相讨论。 (学生积极讨论,得到结论,教师指名回答) 共同特点:从第 2 项起,每项与它的前一项的差是同一个常数。 师:这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点,具有这种特点的数列, 我们把它叫做等差数列。 (二)设置问题,形成概念等差数列等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列等差数列。这个常数就 叫做等差数列的公差公差,常用字母 d 表示。师:如何用数学语言来描述等差数列的定义?学生讨论后得出结论:数学语言: 或 1)daann1)2( ndaann1n(那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是 5,5,-2.5,72。提问提问:如果在与中间插入一个数 A
2、,使,A,成等差数列数列,那么 Aabab 应满足什么条件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:A-a=b-A所以就有 2baA由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫 做 a 与 b 的等差中项等差中项。不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。看来,73645142,aaaaaaaa从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q则 qpnmaaaa(三)等差数列的通项公式师:如同我们在前一节看到的,能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列 具有重要的意义。数列 的通项公式存在吗?如果存在,分别 是什么?师:若一个无穷等差数列 ,首项是,公差为 d,怎样得到等差数列的通na1a项公式?(引导学生根据等差数列的定义进行归纳)即:daa12daa12即:daa23dadaa2123即:daa34da
3、daa3134 至此,让学生自己猜想通项公式是什么,使学生体会归纳、猜想在得出新结 论中的作用。生:dnaan) 1(1师:此处由归纳得出的公式只是一个猜想,严格的证明需要用数学归纳法的知识, 在这里,我们暂且先承认它,我们能否再探索一下其他的推导方法?2叠加法叠加法:是等差数列,所以:nadaadaadaannnnnn32211 daa12两边分别相加得: 所以:dnaan) 1(1dnaan) 1(1以以为首项,为首项,d d 为公差的等差数列为公差的等差数列的通项公式为:的通项公式为:1anadnaan) 1(1迭代法迭代法:是等差数列,则: na= =daann1dan22dan33dna) 1(1所以:dnaan) 1(1由以上关系还可得: 即:dmaam) 1(1dmaam) 1(1则:dndmadnaamn) 1() 1() 1(1=dmnam)( 即得等差数列的第二通项公式等差数列的第二通项公式:dmnaamn)( (四)通项公式的应用: 师:要求等差数列的通项公式只需要求谁?生:和1ad师:通项公式中有几个未知量?生:、1adnan师:要求其中的一个,需要知道其余的几
4、个? 生:3 个。举几个简单的例子让学生求解(屏幕显示):等差数列中,na已知: 求21a3dna已知: 求31a21na2dn已知: 求81a276ad已知: 求31d87a1a(题目比较简单,照顾到全体学生,使学生深刻掌握等差数列的通项公式,从而(题目比较简单,照顾到全体学生,使学生深刻掌握等差数列的通项公式,从而 打好基础。打好基础。 ) 例题讲解: 例一:1、求等差数列 8、5、2 的第 20 项解:由 得:81a385d20n49)3() 120(820a2、是不是等差数列、 的项?如果是,是第几4015913 项?解:由 得51a4)5(9d14) 1(45nnan由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得:3成立14401n解得:即是这个数列的第 100 项。100n401例二:数列是等差数列吗?53 nan(引导学生根据等差数列的定义求解,就是看 是不是一个1nnaa)2( n与 n 无关的常数。 )生: 所以:是等差数列35) 1(331nnaannna引申:已知数列的通项公式,其中、为常数,这naqpnanpq个数列是等差数列吗?若是,首项和公差分别是多少?(指
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