等差数列及性质教学教案

1等差数列等差数列（一） 创设情境，课题导入 复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映 了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列： 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。 （学生积极讨论，得到结论，教师指名回答） 共同特点：从第 2 项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。 师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列， 我们把它叫做等差数列。 （二）设置问题，形成概念等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列。这个常数就 叫做等差数列的公差公差，常用字母 d 表示。师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？学生讨论后得出结论：数学语言： 或 1)daann1）2( ndaann1n(那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。提问提问：如果在与中间插入一个数 A，使，A，成等差数列数列，那么 Aabab 应满足什么条件？ 由学生回答：因为 a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有 2baA由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫 做 a 与 b 的等差中项等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13中 5 是 3 和 7 的等差中项，1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13 的等差中项。看来，73645142,aaaaaaaa从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q则 qpnmaaaa（三）等差数列的通项公式师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列 具有重要的意义。数列 的通项公式存在吗？如果存在，分别 是什么？师：若一个无穷等差数列 ，首项是，公差为 d，怎样得到等差数列的通na1a项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）即：daa12daa12即：daa23dadaa2123即：daa34dadaa3134 至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结 论中的作用。生：dnaan) 1(1师：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识， 在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？2叠加法叠加法：是等差数列，所以：nadaadaadaannnnnn32211 daa12两边分别相加得： 所以：dnaan) 1(1dnaan) 1(1以以为首项，为首项，d d 为公差的等差数列为公差的等差数列的通项公式为：的通项公式为：1anadnaan) 1(1迭代法迭代法：是等差数列，则： na= =daann1dan22dan33dna) 1(1所以：dnaan) 1(1由以上关系还可得： 即：dmaam) 1(1dmaam) 1(1则：dndmadnaamn) 1() 1() 1(1=dmnam)( 即得等差数列的第二通项公式等差数列的第二通项公式：dmnaamn)( （四）通项公式的应用： 师：要求等差数列的通项公式只需要求谁？生：和1ad师：通项公式中有几个未知量？生：、1adnan师：要求其中的一个，需要知道其余的几个？ 生：3 个。举几个简单的例子让学生求解（屏幕显示）：等差数列中，na已知： 求21a3dna已知： 求31a21na2dn已知： 求81a276ad已知： 求31d87a1a（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而 打好基础。打好基础。 ） 例题讲解： 例一：1、求等差数列 8、5、2 的第 20 项解：由 得：81a385d20n49)3() 120(820a2、是不是等差数列、 的项？如果是，是第几4015913 项？解：由 得51a4)5(9d14) 1(45nnan由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得：3成立14401n解得：即是这个数列的第 100 项。100n401例二：数列是等差数列吗？53 nan（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看 是不是一个1nnaa)2( n与 n 无关的常数。 ）生： 所以：是等差数列35) 1(331nnaannna引申：已知数列的通项公式，其中、为常数，这naqpnanpq个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列中任意两项和 nana1na)2( nqnpqpnaann) 1()(1pqppnqpn)(它是一个与 n 无关的常数，所以是等差数列？na并且： qpa1pd 由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数qpnan列，一次项系数 p 就是这个等差数列的公差，首项是 p+q. 师：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差 数列是哪一类函数？ 生：等差数列是关于正整数的一次函数。 师：一定是一次函数吗？ 生（茫然，讨论）：还可以是常数函数，当的时候。 师：那么等差数列的图像有什么特征？ 生：是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。师：通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一判断一 个数列是等差数列？个数列是等差数列？一是利用定义： 或 1)daann1）2( ndaann1n(二是利用通项公式： 是关于的一次函数或常数函qpnan)(Rp数。 课堂检测反馈： 、求等差数列 10、 的第项。 、20 是不是等差数列、3.5、7 的项？如果是，是第几项？如果不是， 说明理由。、等差数列中，已知： 求和na105a3112a1ad、等差数列中，已知： 求na65a158a14a、等差数列中，已知： 求、na961 aa74a3a9a（五）课时小结： （学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）1.等差数列的定义： 或 1)daann1）2( ndaann1n(2.等差数列的通项公式：或dnaan) 1(1dmnaamn)( 4等差数列的性质等差数列的性质教学重点、难点：教学重点、难点： 重点：重点：等差数列的性质及推导。 难点：难点：等差数列的性质及应用。等差数列的常见性质：等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以 nad下性质：；dmnaamn；mnaa naadmnn 11若（） ，则；qpnm*,Nqpnmqpnmaaaa。mnmnnaaa2等差数列的其它性质：等差数列的其它性质：为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末 na两项之和，即。ininnnaaaaaaaa123121下标成等差数列且公差为的项组成公差为m* 2,Nmkaaamkmkk的等差数列。md若数列和均为等差数列，则（为非零常数） na nbbkabannn,bk,也为等差数列。个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。m例题讲解：例题讲解：例 1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。 na17, 582aa【变式变式】已知是等差数列， na（1）已知：,求20, 86015aa75a（2）已知： ,求。153,334515aa61a例 2、已知是等差数列，若,求。 na45076543aaaaa82aa 【变式变式 1】1】在等差数列中，已知则等于 na1232,13,aaa456aaa（ ）A. 40 B. 42 C. 43 D. 45【变式变式 2】等差数列中，已知为（ ） na1251,4,33,3naaaan则A. 48 B. 49 C. 50 D. 51【变式变式 3】已知等差数列中，则的值为 （ na1,16497aaa12a） A15 B30 C31 D6451、 在等差数列中， na（1）已知求= ,10, 3, 21ndana（2）已知求 , 2,21, 31daann（3）已知求 ,27,1261aad（4）已知求 , 8,317ad1a2、已知，则的等差中项为（ ）231,231baba,A B C D3231213、2000 是等差数列 4，6，8的（ ） A 第 998 项 B 第 999 项 C 第 1001 项 D 第 1000 项 4、在等差数列 40，37，34，中第一个负数项是（ ） A 第 13 项 B 第 14 项 C 第 15 项 D 第 16 项5、在等差数列中，已知则等于（ ） na,13, 2321aaa654aaaA 10 B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5的第 15 项的值为 7、等差数列中，且从第 10 项开始每项都大于 1，则此等差 na0,2511da数列公差 d 的取值范围是 8、在等差数列中，已知，求首项与公差 d na,31,10125aa1a9、在公差不为零的等差数列中，为方程的跟，求 na21,aa0432axax的通项公式。 na10、数列满足，设 na),2(44, 411naaann21 nnab（1）判断数列是等差数列吗？试证明。 nb（2）求数列的通项公式 na1、 （1）29 （2）10 （3） 3 （4） 10 2、A 3、B 4、C 5、B 6、 53 7、 8、 9、 253,7583, 21danan210、解：（1）4202441 2111 nnnnnaaaab21 21 421 nnn nnaaabb数列是公差为的等差数列。 nb21（2），21 2111ab221121nnbn621 2nan nnan12