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高中数学选修2-1新教学案：3.1.2空间向量的数量积

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常见问题

1、1ABCDMNBMNADC3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算【教学目标】 1类比平面向量数乘运算,引出空间向量的数乘运算； 2了解共面向量的含义，理解共面向量定理； 3利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题. 【重点】共面向量的含义，理解共面向量定理【难点】利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题.【创设情景】 1.关于空间向量线性运算的理解平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示.从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 86 页第 89 页）1.向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.aa当时, 与向量方向相同；当时，与向量方向相反；的长度0aa0aaa是的长度的倍.如图.a|2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，()abab2结合律：.()() aa3.共线向量或平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。4空间任意两个向量，（），的充要条件是存

2、在实数，使.ab 0babab 如图, 为经过已知点且平行于非零向量的直线,lAa 对空间任意一点,点在直线上的充要条件是存在实数 ,使 OPlt,OPOAtuuu ruu u ra其中向量叫做直线的方向向量. al在上取,则式可化为lAB uuu ra. OPOAtABuuu ruu u ruuu r由此可见,可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线. 5.共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.空间的任意两个向量总是共面的,但空间任意三个向量既可能是共面的,也可能是不共面的.探究：对空间任意两个不共线的向量，如果，那么向量与向量, a bxypabp有什么位置关系？反过来，向量与向量有什么关系时，？, a bp, a bxypab6.空间向量共面定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要, a bp, a b条件是存在惟一的有序实数对，使.( , )x yxypab如图.空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,使PABC( , )x y；APxAByACuuu ruuu ruuu r或对空间任意一点，有O. OPOAxAByACuuu ruu u r

3、uuu ruuu r思考：如何利用向量判断四点共面？结论：已知空间任意一点和不共线的三点，点与点四点共面的充O, ,A B CP, ,A B C3ABCDEFNM要条件是（其中）.OPxOAyOBzOCuuu ruu u ruuu ruuu r1xyz【基础练习】【典型例题】例 1 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M,N 分别在对角线BD,AE 上，且.AEANBDBM31,31求证：MN/平面 CDE 【审题要津】证明：=ANBAMBMNDECD31 32又与不共线CDDE根据共面向量定理，可知共面。DECDMN,由于 MN 不在平面 CDE 中，所以 MN/平面 CDE. 【方法总结】例 2 设空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若点 P 满足向量关系（其中 x+y+z=1）OCzOByOAxOP试问：P、A、B、C 四点是否共面？【审题要津】解：由可以得到OCzOByOAxOPACzAByAP由 A,B,C 三点不共线，可知与不共线，所以,共面且具有公共起ABACAPABAC点 A. 从而 P,A,B,C 四点共面。【方法总结】推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x，y使得：，或对空间任意一点 O 有：MByMAxOMOP.MByMAxMP1.已知非零向量不共线，如果，21e，e2121213382eeAD，eeAC，eeAB求证：A、B、C、D 共面. 2.已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量，.求证：（1）四点 E、F、G、H 共面；OCkOG，OBkOF，OAkOEODkOH （2）平面 AC/平面 EG.

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