三角形五心定律
3页1、三角形五心定律三角形五心定律目录三角形五心定理 一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三三角角形形五五心心定定理理三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。 一一、三三角角形形重重心心定定理理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名) 重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。 二二、三三角角形形外外心心定定理理 三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心的性质
2、:1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。2、若 O 是ABC 的外心,则 BOC=2A(A 为锐角或直角)或 BOC=360-2A(A 为钝角)。3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量: d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 三三、三三角角形形垂垂心心定定理理三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。垂心的性质:1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线,且 OGGH=12。(此直线称为三角形的欧拉线( Euler line)3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积
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