2021年全国甲卷理科数学真题及答案

1、1.设集合M=x|0x4，N=x|13x5，则MN=A. x|0x13B. x|13x4C. x|4x5D. x|0x52.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知（1-i）2z=3+2i，则z=A.-1-32iB. -1+32iC. -32+iD. -32-i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（10101.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF2=60，

2、|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为A.72B. 132C.7D.136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是A. B. C. D. 7.等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙:Sn是递増数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B, C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A,B，C满足ACB=45,ABC=60.由c点测得B点的仰角为15，曲，BB与CC的差为100 :由B点测得A点的仰角为45，则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为（31.732）A.346 B.373 C. 446 D.4739.若（0,2),tan2=cos2-sin，则tan=A.1515 B. 55 C

3、. 53 D. 15310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为A.13 B. 25 C. 23 D. 4511.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且ACBC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为A.212 B. 312 C. 24 D. 3412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x1,2时，fx=ax2+b.若f0+f3=6,则f92=A.-94 B.-32 C. 74 D. 52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线y=2x-1x+2在点（-1，-3）处的切线方程为_。14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，c=a+kb，若ac，则k=_。15.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且PQ=F1F2，则四边形PF1QF2的面积为_。16.已知函数fx=2cosx+的部分图像如图所示，则满足条件（fx-f-74)(fx-f43)0的最小正整数x为_。三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必

4、考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17.（12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附：K2=n(ad-bc)2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d） 18.(12 分)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 数列an是等差数列：数列Sn是等差数列；a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.(1) 证明：BFDE； 当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 20.（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x

5、轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点, 且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且M与L相切，（1） 求C , M的方程；（2） 设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切，判断A2A3与M的位置关系，并说明理由.21.（12 分）己知a0且a1，函数f（x）=xaax（x0），（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4一4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=22cos.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足AP = 2AM,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.23.选修4一5：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2

6、）若f（x+a）g（x）,求a的取值范围.2021年全国甲卷理科数学真题及答案选择：1、B2、C3、B4、C5、A6、D7、B8、B9、A10、C11、A12、D填空：13：5x-y+2=014：-10315：816：2大题：17：（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150/200=3/4乙机床生产的产品中一级品的频率是：120/200=3/5（2）由于K2=400*150*80-50*1202270*130*200*200=4003910.2566.635所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。18：情况一：选择为条件，即数列an为等差数列，且a2=3a1证明：设等差数列an的公差为d，由题意可知，a10，d0，且a2=3a1=a1+d所以，d=2a1，所以an=a1+n-1d=(2n-1)a1所以Sn=n(a1+an)2=(n*2na1)/2=n2a1所以Sn=na1，Sn+1=(n+1)a1Sn+1-Sn=a1，为常数，所以数列Sn为等差数列。情况二：选择为条件。证明：设等差数列an的公差为d，则 d0因为Sn为等差数列，所以2S2=S1

7、+S3，即22a1+d=a1+3(a1+d)等式两边平方得：4(2a1+d）=a1+3a1+3d+23a1(a1+d)即：4a1+d=23(a12+a1d)等式两边平方：4a12-4a1d+d2=0也就是：(2a1-d)2=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1情况三：选择为条件。证明：因为Sn为等差数列，且an0，所以可设Sn=Kn+b（k0）其中k,b为常数，kn+b0对任意n属于N *成立所以：Sn=(Kn+b)2，a1=S1=(K+b)2N大于等于2时，an=Sn-Sn-1=2n-1k2+2kb又因为a2=3a1，所以3k2+2kb=3(K+b)2，解得b=0或者4k+3b=0当b=o时，a1=k2，n大于等于2时，an=2n-1k2，n=1时同所以an=2n-1k2，所以数列an为等差数列。当4k+3b=0时，b=4/3k，S1=K+b=-1/3k0，舍去。综合，数列an为等差数列19：（1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形所以A1B1=B1B=AB=BC=2所以侧面BB1C1C为正方形取BC中点M，连接B1M和EM因为F为CC1重点，所以B1MBF

8、由已知BFA1B1且A1B1B1M=B1所以BF平面A1B1M由于E为AC中点，所以EMA1B1所以EM平面A1B1M，所以BFDE（2）由（1）可知，A1B1BF，且A1B1B1B，所以A1B1平面B1BCC1以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系设C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）则向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）设向量m平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）向量n平面DEF，则向量n=（x，y，z）由：n*EF=0n*FD=0 得：x+y+z=0-2x+ny+z=0得：3x+1-ny=0y=3z=-x-y得：n=（n-1，3，-n-2）设平面BB1C1C与平面DEF所称角为QcosQ=|cos|=3(n+1)2+9+(n-1)2=32n2+2n+14设yn=n2+n+7=(n+1/2)2+27/4所以，当n=-1/2时，cosQ最大为32*27/4=23此时sinQ 最小为13=33所以，当B1D=1/2时，sinQ最小为3320：（1）由题可得，C：y2=2px，p0，点P（1，2p），Q（1，-2p）因为OPOQ，所以1-2P=0，2P=1，所以抛物线C为：y2=xM（2，0），L：x=1且圆M与L相切，所以圆M的方程为：（x-2）2+y2=1（2）设A1（y12，y1）， A2（y22，y2）， A3（y32，y3）由抛物线及圆M对称性，不妨设y10若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2则：A1（3，3），A2（3，-3），设A1A3：y-3=k（x-3）即kx-y-3k+3=0因为A1A3与圆M相切，所以-k+3k2+1=1解得：k=33即KA1A3=y3-y1y32-y12=1y3+y1=1y3+3=33所以y3=0，即A3（0，0）此时，直线A2A3与A1A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切。若A1A2，A1A3斜率均存在，则

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