金融数学引论答案第一章__[1]

1、第一章习题答案1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3In = A(n) A(n 1)= (n2 + 2n + 3) (n 1)2 + 2(n 1) + 3)= 2n + 12. 解: (2)n-1t1IA()tIIn( )/2t(1)/。t1I(n)t 2nkt3.解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72 a = 0.08, b = 1 A(5) = 100A(10) = A(0) a(10) = A(5) a(10)/a(5)= 100 3 = 300.4. 解：(1)i5 =(A(5) A(4)/A(4)=5120 4.17%i10 =(A(10) A(9)/A(9)=5145 3.45%(2)i5 =(A(5) A(4)/A(4)54410910 9(.)10( .) % .(.)( .1)i(A9)/ 0% .5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)= 1000 1.05 1.06 1.07= 1190.916.解: 设年单利

2、率为 i500(1 + 2.5i) = 615解得i = 9.2%设500 元需要累积t 年500(1 + t 7.8%) = 630解得t = 3 年 4 个月7.解: 设经过 t 年后，年利率达到2.5%t 36.367t1 % (12.5)8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 39. 解: 设实利率为 i600(1 + i)2 1 = 264解得i = 20% A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元10.解: 设实利率为i 211()()nnii解得(1 + i)-n = 5所以(1 + i)2n = 21()3511.解:由500(1 + i)30 = 4000 (1 + i)30 = 8于是PV = 20406011 (i)( i)( i)= 1000 238= 3281.2512解 :(1 + i)a = 2 (1)(1 + i)b = (2)3(1 + i)c = 5 (3)(1 + i)n = (4)2(4) n ln (1 + i) = ln 5 ln 3(3) ln 5 = c ln (1 + i)(1) (2) l

3、n 3 = (a + b) ln (1 + i)故n = c (a + b)13.解:A i = 336A d = 300i d = i d A = 280014.解: (1)d5 = a4= 10% = 6.67%(2)a-1(t) = 1 0.1t a(t) =10.t d5 = a4= 16.67%15.解:由 (3)(4)3()(4) 411idi由 (6)(12)()(6) 21idi16.解: (1) 终值为100 (1 + i(4)/4 )4*2 = 112.65元(2) 终值为100 (1 4d( 1/4 )1/4 -2 = 114.71元17.解: 利用1/d (m) 1/i(m) = 1/m m = 818. 解:a A(t) = 1 + 0.1t A(t)11 BAa(t)0.(at)0.5(t).5t t由A(t) = B(t)得t = 519.解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025a(1) = a + b + 1 = 1.07a = 0.04b = 0.03于是 0.5

4、= a(0.5) .6820.解: 依题意， A(t) = , 2t1B(t)1t由 AB(t)t 21t t t 121解： ，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d 0。4 8%_全部采用复利：3(1d) 2前两年用复利：5PV0() 4.8%3 2405(1d) 25.4622解： %i 6i(1) .14。则设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程解得X = 504.67 元2 280(1 i) 0( i)X 0v 523解： 对两种付款方式，以第5 年为比较日，列价值方程：520 v 40.9v 0.418。所以 105P (i) 2(i) 7.6224解： 解得： t = 36 年t t6%10425解： 列价值方程为 解得n = 6.25n2nv 026解： ，得基金B 的积累函数为t16欲使 则2B0sta(t) exp(d) exp()1tABa(t) t212tt( i)()解得t = 1.427解： 1000(1 + i)15 = 3000则 21i(i)27.46%28解： 列价值方程为解得i = 11.96%230(1i) 0(1i) 0 29解：

5、则积累函数为tk20a(t)expsde(t)t由a(10) = 2 得 5k 解得k = 0.013930解：(1 + i)3 + (1 i)3 = 2.0096解得i = 0.0431.解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收入j + j2,故差为j2, 即第一期利息产生的利息。32.解： 设半年实利率为 ，则有：i15( i) 3.65 28(1)解得: 故：02ii 0.1533.解： 价值方程：正常: -1231( j) (j) ( j)转让: 960 k0 k解得：j = 6.98%, k = 7.4%从而:j k34.解： 和 等价的年利率 ,年利率变化：ie1和等价的年贴现率 , 年贴现率变化：2e1-d-2-e35证明：证：22d00i1lim l22d00001li li lim li22ee22d000011li li li li36.解: 设货款为 S,半年实利率为 ,则有：i.7S(1 i) 0.75S解得： 1i .074故 2i ()1.8%37解： 1)单利方式：X 1(1 + (1 t)i) = 12)复利方式：X 2(1

6、 + i)1-t = 13)单利方式： 3(ti)由Taylor展开易证： 1-t t123 i (t)i (1i) itX 。38解： 设基金 A,B的本金为A,B1010A(.6)B( .8) 5解得： 5A(1 0.6) 498.17B从而5年底的累积值和=1405.6139解: 设第二年的实利率i2,由题意：i 1 = d2 = 2i从而： 2121 i0( i) 0()( i 120解得：i2 = 0.1，进而i1 = 40.解： 2-1i1)P0() 9538.05(2)i5di220 (i)3） 即波动范围：95238.095 453.512(|)diPi10%| 4.531041解： jj(m ( )ln( ), 0m ,()0mf f2) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：e1ln( j) 0由Taylor展开可见上式关于y 增,由复合函数性质得证。第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+ X 元，年利率7%。计算 X 。解： 20|7%10|751|65.2ssSX2价值

7、10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为 X ，则有48|1.5%102Xa解得 X = 1489.363设有 n年期期末年金，其中年金金额为 n，实利率 i = 1。试计算该年金的现值。解： 2|1( 1)nnnivPVa4解： 则2(1)nnnad1 ()nYX5已知： 。计算 i。7118 5.83, 7.6, 0.276a解：解得 i = 6.0%71871av6.证明： 10 sa证明： 1010 10()isaiv7已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：8某人现年40岁，现在开始每年初在退休8p3%20310 19.76aaPV金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为 X，选择65岁年初为比较日157%10258as解得 X = 8101.659已知贴现率为10%，计算 。8解： d

8、= 10%，则881 9 () 5.63idvai10.求证： 1 21 ()n nn nvsi。并给出两等式的实际解释。证明： (1) 1 nnnnnvavidi所以 nnv(2) 1(1)()()1 ()1nnnnii is id所以 ()nna12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV = 100a49】1 .5% 100a 21.5% = 3256.88AV = 100s491.5% 100s21.5% = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为 Y ，在第1120年中没有。已知： 102v，计算 Y 。解： 因两种年金价值相等，则有 10 10303 i iivivaaY所以0132 .8Y14.已知年金满足：2元的2 n期期末年金与3元的 n期期末年金的现值之和为36；另外，递延 n年的2元 n 期期末年金的现值为6。计算 i。解： 由题意知，2 3 6niiiav解得 i = 8.33%15.已知。求X，Y和Z。731Yas解： 由题意得 731( )XZYviv解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简 153015()av。解： 153015 45( ) 17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为 P = (1+4.5%)/4.5% 2000 = 46444.44 ，则23410657( )PVi18.某递延永久年金的买价为 P，实利率 i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为 t，有解得1tPviln(1)i19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额 X，直至永远。计算 X。解： 设年实利率为 i，由两年金的现

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