内蒙古赤峰二中2021届高三上学期第二次月考数学（理科）试题

1、赤峰二中 2018 级高三上学期第二次月考理科数学试卷命题人：吴雪飞；审题人：黄晓娟 孙广仁注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷考试时间：120分钟；满分150分。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，则（ ）AB0,1C0,1,2D2已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）A1BC2D3以下有关命题的说法错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B“”是“”成立的必要不充分条件C对于命题，使得，则，均有D若为真命题，则与至少有一个为真命题 5 如图，在中，点是边的中点，则用向量表示为（ ）ABCD6已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD7函数图象的大致形状是（ ）ABCD8已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）ABCD9已知中，为的外心，则（ ） 10过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，O为坐标原点，则（ ）ABC4D

2、11已知点P是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，M是的内心，且，则双曲线的离心率为（ ）A2BC3D12若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（ ）ABCD2、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f(x)loga(x2)4(a0且a1)，其图象过定点P，角的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则_. _.16已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17(本题12分)如图，在中，点在上，.（1）求的值；（2）若，求的长.18.（本题12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19（本题12分）某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中 至少投入一元钱.现统计了连续天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给

3、品学兼优的特困生,规定:(1)特困生综合考核前名,获一等奖学金元.(2)综合考核21至50名,获二等奖学金元.(3)综合考核名以后的不获得奖学金.(1)若与成线性相关,则某天售出箱水时,预计收入为多少元?(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望.附:回归方程,其中,.20（本题12分）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求 的面积的最大值21（本题12分）已知函数（）若，求函数的单调递减区间；（）证明当时，；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的

4、极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线与直线交于点，点，求的值23选修45：不等式选讲（10分）已知函数.（1）若函数的最小值为3，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若正数满足，求证：.赤峰二中 2018 级高三上学期第二次月考 理科数学答案1B ,选B.2D因为，所以，所以.故选：D3D【详解】对于A，根据命题与逆否命题之间的关系知，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，则A正确；对于B，时，或，充分性不成立；时，必要性成立，是必要不充分条件，则B正确；对于C，根据特称命题，使得，它的否定命题是，则C正确；对于D，为真命题时，与至少有一个为真命题，但是与也可能都是假命题，则D错误.故选：D4. C5A【详解】因为点是边的中点，所以，又，所以，因此.故选：A.【点睛】6C【解析】因为，所以函数是R上的减函数，所以解得故选C.7B利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.【详解】，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.8C设，化简函数为，得到函数在上前三个零点，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，因为，可得，设，则函数则函数在上，前三个零点分别是，所以，解得.

5、故选：C9A【详解】如图,作分别作关于准线的垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有.设,故,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A10C【解析】【分析】设的内切圆的半径为r，即，故得解.【详解】设，的内切圆的半径为r，则由于故因此：故选：C12B【分析】根据所给的方程的特征,令进行换元,方程转化为,画出函数的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令,所以由可得,设,当时, ,所以函数单调递减,当时, ,所以函数单调递增,而,显然当时, ，当时, ，因此函数的图象如下图所示：要想关于的方程有三个不等的实数解,且,结合函数图象可知,只需关于的方程有两个不相等的实数根,且,.故选B.1310【详解】对于函数f(x)loga(x2)4，令x-2=1，求得x=3，y=4，可得它的图象经过定点P（3，4）,角的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，所以，.故答案为：1014(-2,1)【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，故实数的取值范围为(-2,1) 【解析】16令，则

6、：，设，故，由可得，在上，为减函数，在上，为增函数，的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，则，即，解得：.17(1) ；（2）.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所以.18（1）见解析；（2）（1）证明：因为侧面底面，且，所以，如图，以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，是的中点，则有，于是，因为，所以，且，因此平面 （2）由（1）可知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则 所以不妨设，则，由图形知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为19.题解析(1),经计算,所以线性回归方程为,当时,的估计值为元.(2)的可能取值为, , , ,所以的数学期望.20 （1）； （2）.【详解】（1）设椭圆的焦距为,则，解得，又，所以椭圆的方程为：（2）由题意知（为点到直线的距离），设的方程为，联立方程得，消去得，设，则， 则， 又， ， 令，由，得，易证在递增，面积的最大值21（）；（）证明见解析；（）整数的最小值为2【解析】试题分析：（1）求出导数，解即可求出单减区间；（2

7、）由（）得：在递减，故，时，分别令，累加即可得证；（3）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，只需利用导数求的最大值即可.试题解析：（）因为，所以此时，由，得，又，所以，所以的单调减区间为（）令，由（）得：在递减，故，时，分别令，故 ，时，（）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要因为，令，得设，在上单调递减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以 因为，所以，此时，即所以整数的最小值为222（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，首先将直线的参数方程转化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程的参数的几何意义计算可得；【详解】解：（1）曲线，所以，所以曲线的直角坐标方程为；直线的参数方程为，消参得直线的普通方程为，由，可得极坐标方程为（2）将代入中，得，均为正，则23（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得,则,即可求解；（2）由（1）可得,即,则,进而利用均值不等式证明即可.【详解】（1）解:,又,.（2）证明:由（1）知,即,正数,当且仅当时等号成立.19

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