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数学32《一元二次不等式及其解法》课件（新人教A版必修5）

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1、3.3 一元二次不等式及其解法,教学目标,掌握一元二次不等式的解法教学重点：一元二次不等式的解法,考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30 x10 和 3x2+6x10.,这两个不等式有两个共同特点：,（1）含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数为2.,一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。,一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c0 (a0)，或ax2+bx+c0 (a0),其中a，b，c均为常数。,一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，即 f(x)=ax2+bx+c (a0)，,一元二次不等式f(x)0，或f(x)0 (a0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。,一元二次方程f(x)=0 (a0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。,因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。,下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。,例如解不等式：（1）x2x60；（2）x

2、2x60.,我们来考察二次函数f(x)=x2x6 = 的图象和性质。,方程x2x6=0的判别式于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=2，x2=3.,建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(2，0)，N(3，0)，,观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合 A=x| x3是一元二次不等式x2x60的解集。,抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B=x| 2x3是一元二次不等式x2x60的解集。,事实上，当xA时，若x0；,若x3，同样可推知(x+2)(x3)0。,当xB时，即20， x30，因此(x+2)(x3)0，,不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解：,（1）因为x2x6=(x+2)(x3)，所以解x2x60，就是解(x+2)(x3)0, 相对于解不等式组或，解这两个不等式组得x3或x2.,（2）因为x2x6=(x+2)(x3)，所以解x2x60，就是解(x+2)(x3)0，相对于解不等式组或，解这两个不等式组得2x3.,比较上

3、面的两种解法，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些。,例1解不等式：（1）x22x+30；（2）x22x+30.,分析：考察方程x22x+3=0的判别式=(2)24130。,解：对于任意实数x， x22x+3=(x1)2+20，因此不等式（1）的解集为实数集R，不等式（2）无解，或说它的解集为空集.,通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c0 (a0)和ax2+bx+c0)解集的形式作一般性的分析。,设方程ax2+bx+c=0 (a0)的判别式为。,（1）当0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x1x2）.,考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，这时，函数的零点把x轴分成三个区间,(，x1)，(x1，x2)，(x2，+)，,不等式ax2+bx+c0的解集是(，x1) (x2，+)，不等式ax2+bx+c0的解集是(x1，x2).,简单的说是：大于在两边，小于在中间。,（2）当=0时，通过配方得，,由图可知，ax2+bx+c0的解集是的全体实数，即 ax2+bx+c0的解集是空集，即不等式无解。,（3）当0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c0的解集是空集。,例2解不等式1x4x20.,解：原不等式化为4x2+x10，方程4x2+x1=0的根是,所以不等式的解集是,例3解不等式x2+4x+40.,解：因为=42414=0，原不等式化为(x+2)20，所以不等式的解集是xR| x2.,例4解不等式2x2+4x30.,解：原不等式化为2x24x+30，所以原不等式的解集是,例5求函数的定义域。,解：由函数f(x)的解析式有意义得,即,解得,因此1x3，所求函数的定义域是1，3).,再见,

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