2021年高考【数学】一轮复习考点17 平面向量的线性运算与基本定理（解析版）

1、2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 考点考点 17 平面向量的线性运算与基本定理平面向量的线性运算与基本定理 【考点剖析】 1.最新考试说明：最新考试说明： （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 【2020四川达州高三三模】在 ABC 中， 1AB ， 2 3 A ， () ABtAC tR 的最小值是（ ） A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 3 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用相反向量将向量的加法转化为向量的减法，利用向量的减法的模的几何意义求得最小值. 【详解】 =()ABtACABt AC ,令 ()Pt ACA ，则P为直线AC上的动点，如图所示， =()|ABtACABt ACPB ，当PB 直线AC时， BP 取得最小值， 1AB ， 2 3 A ， min BP 3 2 . （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 【2020新疆天山乌市八中高三】设向量 (1,1),(2,)abm ,若 /2aab ,则实数m的值为(

2、 ) A1B2C3D4 【答案】B 【解析】 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 【分析】首先求出 2ab 的坐标，再根据平面向量共线定理解答. 【详解】 (1,1),(2,)abm ， 25,21abm ,因为 /2aab ,所以2 150m ,解得 2m . 【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题. 【2020甘肃省静宁县第一中学高三】若向量 (1,2)ax 与 (1, 1)b 平行，则|2 + |= a b （ ） A 2 B 3 2 2 C3 2D 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到 3x ，故 |2 + |=3,3a b ，计算得到答案. 【详解】向量 (1,2)ax 与 (1, 1)b 平行，则 12x ，故 3x ， |2 + |=4,41, 13,33 2a b . （3）了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题 【2020安徽马鞍山高三三模】在 ABC 中，D为BC上一点，且 2BDDC ，AE ED ，若 EBxAByAC ，则（ ） A 1 3 x ， 2 3 y B 5 6 x ， 1 3 y C 5 6

3、 x ， 1 3 y D 2 3 x ， 1 3 y 【答案】C 【解析】 【分析】利用 1 2 EBBABD ，进一步用 ,AB AC 表示BD ，然后简单计算判断即可. 【详解】由题可知： 2BDDC ，AE ED ，则D为在BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点 所以 1 2 EBBABD ，又 22 33 BDBCACAB ，所以 151 263 EBBABDABAC 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 所以 5 6 x ， 1 3 y 【2020上海高三专题】在 ABC 中，设D是BC边上一点，且满足 2CDDB ， CDABAC ，则 的值是_. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的性质可得 2 3 CDCB ，根据平面向量线性运算法则可得 22 33 CDABAC ，再由平面向量基本定理即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图： 2CDDB ， 2222 3333 CDCBABACABACABAC ，由AB 、AC 不共线可 得 2 3 ， 2 3 ， 0 . （4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示 【2020湖南雁峰衡阳市八中高三】已知向量AC，和在

4、正方形网格中的位置如图所示，若AD AB ，则（ ）ACABAD A.2 B.2 C.3 D. 3 C D B A 【答案】A 【解析】以为坐标原点，为轴，建立坐标系，则，由AADx1,2 ,1,0 ,2, 2BDC ADABAC，得，即2, 21,21,02 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 【2020南京市玄武高级中学】给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为.如图所示，点 OA OB 2 3 C 在以 O 为圆心，1 为半径的圆弧 AB 上运动若xy，其中 x，yR，则 xy 的最大值为 OC OA OB _ 【答案】2 【解析】以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B. OA ( 1 2， 3 2) 设AOC，则 C(cos ，sin )， ( 0， 2 3) 由xy，得Error!所以Error!所以 xycos sin 2sin.又 ，所以当 OC OA OB 3 ( 6) 0， 2 3 时，xy 取得最大值 2. 3 （5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 【2020江苏高三其他】已知向量 1,3

5、a ， 2,1b ， 3,2c .若向量c 与向量ka b 共线，则实数 k _. 【答案】 1 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得向量ka b 的坐标，然后利用平面向量共线的充分必要条件求解. 【详解】向量 1,3a ， 2,1b ，向量 =2,31kabkk ,又 3,2c ，且向量c 与向量 kab 共线， 3 3122 ,kk 解得 1k , （6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【2020河南宛城南阳中学】已知平面向量 (1,2),( 2,)abm ，且 / /ab ，则2 3ab （ ） A( 5, 10) B 4, 8 C 3, 6 D 2, 4 【答案】B 【解析】因为 (1,2)a ， ( 2,)bm ，且 / /ab ，所以 40,4mm ， 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 232 1,232, 4ab ( 4, 8) ，故选 B. 【2020河南高三月考】若 3,am （mR） ， 6,4b ，且 ab= （ R ） ，则 3abab （ ） A0B 5 C 12 D 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可得 2m ，再根

6、据平面向量数量积的坐标表示可得结果. 【详解】 ab ，所以3 4 ( 6)0m ，解得 2m ， 3, 2a ， 6,4b ， 3,2ab ， 33, 2ab ， 39413abab . 2.命题方向预测：命题方向预测： （1）平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点题型以选择题、 填空题为主，常与解析几何相联系. （2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点向量的坐标运算可能单独命题， 更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现， 难度为中、低档. 3.课本结论总结：课本结论总结： （1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小. 零向量：模为 0 的向量，记作，其方向为任意的，所以与任意向量平行，其性质有：=0，+000 a0 =.aa 单位向量：模为 1 个长度单位的向量，与方向相同的单位向量为.a a |a| 相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作=.ab 相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，的相反向量为-，有-(- )= .aaaa (2)向量的线性

7、运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 加法求两个向量和的运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab) ca(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的 运算 (1)|a|a|；(2)当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的 方向相反；当 0 时，a0 (a)() a；() aaa；(a b)ab (3) 平面向量基本定理 若、是平面内不共线的向量，向量是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对，使.abc, x yxyc = a+ b (4) 共线向量 共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反，则称与共线，也叫与平行，规定零ababab 向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理：（）存在唯一实数，使得=.abb0ab 若=（，） ，=（，） ，则-=0.a 1 x 1 yb 2 x 2 yab 1 x 2 y 2 x 1 y (5) 平面向量的基本运算 若

8、=（，） ，=（，） ，则=（，） ，a 1 x 1 yb 2 x 2 yab 1 x 2 x 1 y 2 y =（，） ，a 1 x 1 y 若 A（，） ，B（，） ，则=（-，-）. 1 x 1 y 2 x 2 yAB 2 x 1 x 2 y 1 y 4.名师二级结论：名师二级结论： （1）若 A、B、C 三点共线且，则=1.OAOBOC （2）若向量不共线，则, a b xayb 0 xy 2021 年高考考点扫描 一轮备战高考 （3）C 是线段 AB 中点的充要条件是. 1 () 2 OCOAOB (4)若，则线段 AB 的中点坐标为（）. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 1212 , 22 xxyy (4)G 是ABC 的重心的充要条件为.0GAGBGC (5)若ABC 的三个顶点坐标分别为，则ABC 重心坐标为 112233 ( ,), (,),(,)A x yB xyC xy 123123 (,) 33 xxxyyy (6)已知，且，则点 C 的坐标为. 1122 ( ,), (,)A x yB xyACCB 1212 (,) 11 xxyy 5.课本经

9、典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版第 92 页，习题 A 组第 12 题 在ABC 中，DEBC，且与边 AC 相交于点 E，ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N，设 1 4 ADAB ，=，用，分别表示向量.ABa AC b a b ,AE BC DE DB EC DN AN 【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算，具有代表性. (2) 新课标 A 版第 101 页，第 7 题 已知 A（2,3），B（4，-3），点 P 在线段 AB 的延长线上，且,求点 P 的坐标. 3 | 2 APPB 【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想，是经典题型. 6.考点交汇展示：考点交汇展示： （1）与解三角形交汇）与解三角形交汇 【2020南京市玄武高级中学高三】已知的三内角、所对边长分别为是、，设向 ABCABCabc 量，若，则角的大小为_. ,sinmabC 3,sinsinnacBA /m n B 【答案】 5 6 【解析】 【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦 定理求出 B 的余弦，即可求出角 【详解】向量，若， ,sinmabC 3,sinsinnacBA /m n ，由正弦定理知：，即 ()(sinsin)sin( 3)0abBACac()()( 3)ab bacac

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