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概率论第三章习题详解

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1、第三章多维随机变量及其分布习题八二维随机变量一、判断题1、设是二维随机变量，事件表示事件与的积事件. （是）解：由P86定义2可得.2、是某个二维随机变量的分布函数. （否）解：二、填空题YX1 2 3 12 1、若二维随机变量的概率分布律为则常数 = 解：显然，即于是 2、若二维随机变量恒取一定值（a,b），则其分布函数为解：显然当时，由于，则3、若随机变量的概率密度为则. 解：1、由，有 2、121 12 3、如图：1x+y=1(y=1-x) 4、三、将三个球随机放入三个盒子中，用和分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的个数，求的联合分布律。解：每个球有三种放法（放入三个盒子中的任意一个），则三个球共有种放法，于是；；；；；；即X Y0 12 3 0 1 2 3 四、设二维连续型随机变量的分布函数为 1、求常数的值；2、求的概率密度函数. 解：1、由 * ；联立三式可解得而带回*式得即 2、五、设随机变量的密度函数为1、求常数的值；2、求的联合分布函数；3、求和.解：1、 2、当时于是 3、习题九边缘分布、条件分布一、判断题1、二

2、维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布. （是）解：详见P101 例题22、边缘分布是正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布. （否）解：边缘分布不能确定联合分布（P103）二、填空题YX1 2 3 12a 0.2 0.10.2 0.1 0.31、已知随机变量的联合分布律为则a= 0.1 ,X的概率分布律为 ,Y的概率分布律为Y1 2 P0.4 0.6X1 2 3 P0.3 0.3 0.4 解：1、 2、 3、 2、设随机变量，则的概率分布为，的概率分布为解：P103面例题4的结论：若3、设二维随机变量的联合密度函数为则常数的边缘密度为 ,的边缘密度为解：1、由 2、 3、三、已知随机变量的密度函数为1、求和的边缘密度函数；2、求条件密度函数和；3、求.解：由 1、即即 2、 3、四、设二维连续型随机变量在区域D上服从均匀分布，其中，求. 解：由于是如图，D为边长等于的正方形，则由题意有x-y= -1 ，于是对-11x+y=1-1x-y=11 当时当时 x+y= -1 其它即：五、设随机变量的密度函数为，求和.解：1），由题意有当时，当

3、时，即 y= x 2）如图有1 当时，y= -x-1 当时，当时，即 3）六、设=求.解：1）由已知得 y= x1 令，则D为如图所示 2）于是对，如图有当时当时即 3）习题十随机变量的独立性一、填空题YX1 2 3 12 b c1、设随机变量X与Y相互独立，其联合分布律为则a=，b=，c= 解：由独立性有 2、设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 X0 1 p Y0 1 p 则解：由独立性有 3、设随机变量，则X与Y相互独立的充要条件是解：P115 定理2 4、设随机变量与相互独立，则它们的函数与是（用“是”或“不是”填空）相互独立的随机变量.解：因为与均为连续函数，由P116结论可得.二、选择题 1、如下二维随机变量的分布律或密度函数给出，则X与Y不相互独立的是（ D ）YX-1 0 2 12 A、 B、 YX1 2 3 1230.01 0.03 0.060.02 0.06 0.120.07 0.21 0.42 C、联合密度 D、联合密度解：对D选项有当时，当时，即当时，当时，即于是 2、设二维连续型随机变量服从区域D上均匀分布，其中，

4、则（ C ） A、落入第一象限的概率为0.5 B、都不服从一维均匀分布C、相互独立 D、不相互独立1解：D表示的区域如图所示，即-1-11 则由题意有 1）对A选项，故A错 2）对B选项，由P101 例2可知B错 3）于是故C对三、已知二维随机变量的密度函数为 1、判断X与Y是否相互独立； 2、判断与是否相互独立. 解：1、由当时，当时，即由当时，当时，即于是，即X与Y相互独立. 2、因为与均为连续函数，则由P116结论可知它们相互独立.四、设随机变量X与Y相互独立，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为 1、求X和Y的联合密度函数；2、设含有a的二次方程，试求a有实根的概率。解：1、由题意而X与Y相互独立则 2、如图所示 1 其中习题十一两个随机变量的函数的分布一、判断题1、若X和Y都是标准正态随机变量，则. （否）解：P125定理2X和Y需要相互独立，结论才成立.2、若，且X与Y相互独立，则. （是）解：P125定理33、若X与Y相互独立且都服从指数分布，则. （否）解：由题意有令,则由卷积公式当时当x,z不在该区域时，即，于是不服从指数分布.二、填空题 1、设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布，且X的分布律为，则的分布律是解：由题意有，且 2、设X和Y独立同分布，密度函数为，分布函数为，则的密度函数为. 解：于是三、选择题 1、设随机变量X和Y相互独立，则（ B ） A、 B、C、 D、解：令，于是 YX-2 -1 0 -13 0 0 四、若二维随机变量的概率分布律为求下列随机变量的概率分布：1、 ;2、 .解：1、

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