开关理论基础课件

1、内容提要,1. 逻辑代数的基本运算；,2. 逻辑函数及其表示方法 （真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图和卡诺图）；,3. 逻辑代数的运算公式和基本规则；,4.逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。,逻辑代数的基本运算,逻辑：一定的因果关系。,逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又称为布尔代数。,1.3 逻辑函数及其描述工具,无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路。,数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。,、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）,、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路,、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式,、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示,、实现逻辑关系的电子电路通称为门电路。,数字逻辑电路特点：,1.3 逻辑函数及其描述工具,布尔代数,逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数

2、又有什么异同之处。,逻辑代数和普通代数的区别：,共同点：, 都用字母 A、B、C - 等表示变量。, 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、其次乘、最后加）。,不同点：, 这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1 。, 其运算规则是按逻辑规则来定义的。, 0、1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。,一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。,为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。,1、“与”运算及与门,逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑乘、或称为：“与”运算。,能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。,布尔代数中的三种基本运算,开关断开为 0,开关闭合为 1,灯亮为 1,灯不亮为 0,假设：,用四个式子表示：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 0 = 0,1 1 = 1,与逻辑的表示方法：（四种）,真值表：,将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。,逻辑表达式：,把输出与输入之间的逻辑关系写出与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。,F

3、 = A B F= A and B,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,A,B,有0为0 全1为1,工作波形图,把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。,有0为0，全1为1,逻辑图（符号）,将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。,把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门。,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,F = A B,逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、或称为“或”运算。,0 0 = 0,0 1 = 1,1 0 = 1,1 1 = 1,假设：,开关闭合为 1,开关断开为 0,灯亮为 1,灯不亮为 0,用四个式子表示：,用并联开关电路简单说明或逻辑关系：,或逻辑的表示方法：,2、“或”运算及或门,真值表：,工作波形图,逻辑图（符号）,逻辑表达式：,F = A + B F= A or B,把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。,有1为1 全0为0,“或”运算及或门,1,逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。,A

4、F 0 1 1 0,逻辑表达式：,工作波形:,逻辑符号：,开关闭合为 1 开关断开为 0 灯亮为 1 灯不亮为 0,假设：,把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。,3、“非”运算及非门,F= not A,逻辑运算,逻辑符号,真值表,基本运算规则,与,逻辑表达式,或,非,三种基本逻辑运算小结,实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。,1、 与非逻辑,与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。,与非逻辑表达式：,与非门逻辑符号：,能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。,二、复合逻辑运算：, 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。,通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。,1、找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合。,2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。,3、将取值为1的乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。,二、从逻辑

5、表达式列出真值表,将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。,例：已知函数,求其对应真值表。,解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。,逻辑函数的表示方法,三、从逻辑表达式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。,例：已知逻辑函数,画出对应逻辑图。,解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。,逻辑函数的表示方法,四、从逻辑图写出逻辑表达式,从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。,例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。,解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。,逻辑函数的表示方法,与-或式,与非与非式,或-与式,或非或式,或-与非式,逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。,任何一个逻辑函数都可以通过逻辑变换写成以下八种形式：,八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。,与-或非式,与非与式,或非或非式,目的：为图解化简法打好基础。,与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。,与或表达式：与项和与项间

6、只进行加运算的表达式称为与或表达式。如:,或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。,或与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表达式。如:,在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和”及“最大项之积”两种标准形式。,几个概念：,四：逻辑函数的两种标准形式,(1) 定义：,最小项是一个与项。,(2) 特点：,n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量有 2n 个最小项。,例如：在三变量A、B、C的最小项中：,1、最小项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。,当A=1、B=0、C=1时，,所对应的十进制数就是5。,按照上述约定，作出三变量最小项编号表。,原取1,反取0.,一、最小项和最大项,（3）最小项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。,三变量最小项编号表,所有最小项之和为1。,任意两个最小项的乘积为0。,具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。,相邻性：,若两个最小项彼此只有一个因子不同，且

7、互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。,例：,最小项和最大项,定理：任何逻辑函数 F 都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。,1、 真值表法：,将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。,例：将,表示为最小项之和的形式。,解：,由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。,列：F 真值表：,(4)、用最小项表示逻辑函数的方法,由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。,那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量,用最小项表示逻辑函数的方法,2、 摩根定律及配项法,将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。,例1：,解：,原取1 反取0,用最小项表示逻辑函数的方法,例2：将,表示为最小项之和的形式。,解：,说明：全部由最小项相加构成的与-或表达式称为最小项表达式，是与-或表达式的标准形式。(都是最小项，不是全部最小项)。,用最小项表示逻辑函数的方法,(1) 定义：,最大项是一个或项。,(2) 特点：,n 个变量都

8、出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个或项为最大项。n 变量有 2n 个最大项。,例如：在三变量A、B、C的最大项中：,2、最大项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。,当A=1、B=0、C=1时，,按照上述约定，作出三变量最大项编号表。,如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，,原取0,反取1。,最小项和最大项,（3）最大项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0。,三变量最大项编号表,所有最大项之积为0,任意两个最大项之和为1。,只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,例：,(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：,定理：任何逻辑函数 F 都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。,用最大项表示逻辑函数的方法有两种：,真值表法,加对乘的分配率及配项法,最小项和最大项,一、 真值表法：,表示为最大项之积的形式。,列：F 真值表：,解：把真值表中 F = 0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。,既可以用最大项之

9、积表示，又可以用最小项之和表示。,比较函数F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。,加对乘的分配率,配项,代入规则,加对乘的分配率,合并项,二、 加对乘的分配率及配项法,表示成最大项之积和最小项之和的形式。,解：,最大项原变量记做0，反变量记做1。,最小项之和为：,A+B缺变量C,A+C缺变量B,由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或-与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或-与表达式。,3、最小项与最大项之间的关系：, 脚号相同，互为反演。,例1:,例2:, 因子相同，互为对偶。,求其对偶式。,最小项与对偶项之和为15.,作业,P36,7. （2），（4） 8. (2), (4) 9,一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。,二、复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或、同或 五种,三、逻辑代数的基本定律和规则,1、逻辑函数间的相等,2、逻辑代数的基本公式,1.3 逻辑函数及其描述工具,上节课重点,逻辑代数的基本公式,上节课重点,（1）、代入规则,任何一个含变量 A 的等式中，如果将出现 A 的地方，都代之一个逻辑函数 F ，则等式仍然成立。,例1：分配率A(B+C) = AB+AC,令：C = EF 代入公式,A(B+EF),证:A(B+EF),用乘对加的分配率证明,例2:,则：,令：A = CD,证：,代入规则之所以正确：,是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。,3、逻辑代数三个规则,= AB+AEF,= AB+AEF, 有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。,（2）、反演规则：,（摩根定理）,目的：,求原函数的反函数,已知函数为 F ，将 F 中的所有 “” 换为“”，“” 换为 “” ，0 换为 1 ，1 换为 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作,例1:已知,解：由反演规则直接得出,由反演率得,2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。,本例说明：,1、由反演规则求反函数，比

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