第八章金融数学模型课件

1、第八章金融数学模型,8.1保险的需求模型 8.2资产组合选择模型 8.3资本资产定价模型 8.4企业负债的合理确定模型,东华理工学院数信学院信息技术系,东华理工学院数信学院信息技术系,以前总是假定消费者或生产者的决策所产生的结果是肯定而唯一的。然而这一点假设是非常脱离实际的。如，农场主的产量不仅取决于他投入多少资本、土地和劳动，而且取决于今后一年中的气候状况，这是农场主无法把握的。在许多情况下，经济决策人只能预见到自己的行为会带来那几种可能结果，以及每一种结果出现的可能性。这就是在结果不确定的情况下经济人的最优决策问题。,保险的需求模型,个人对待风险的态度：在现实中，可以观察到两种现象：有些人为了减少未来收入和财富的不确定性而到保险公司投保；而另一些人却为了增加生活中的不确定性而进行赌博。在世界各地，保险公司与跑马场一样生意兴隆。 对待风险的态度（风险偏好）：,东华理工学院数信学院信息技术系,如，这种赌博：90%的可能赢1万元，10%的可能输10元，这种赌博的预期收益为： 1万元90%+（10元）10%=8，999元 远远高于不参加赌博的预期收益：零。那么，很少有人会拒绝这种赌博。 公

2、平赌博：指预期收益为零或胜负各参半的赌博；如：1万元50%+（-1万元）50%=0（元） 有利赌博：指预期收益大于零或赢的可能性超过一半的赌博。 “公平”的保险费率正好与损失发生的概率相等。,东华理工学院数信学院信息技术系,预期效用及其函数：人们对不确定情况下的收入或消费也应当有一种偏好顺序，如，人们偏好“90%的可能赢1万元，10%的可能输1千元。”胜过“60%的可能赢1万元，40%的可能性输100元。” 90%（1万元）+10%（1000元）=8,900（元） 60%（1万元）+40%（100元）=5,960（元） 那么，如何来排列这种偏好顺序呢？最方便的方法就是按“预期效用”（Expected Utility）的大小来排序。,（,东华理工学院数信学院信息技术系,预期效用：取决于各种情况出现的概率和相应的概率下可享用的收入或消费的效用。如，若未来可能出现两种状态，状态1和状态2，两种状态出现的概率分别为 和即只有这两种可能性。C1和C2分别代表状态1和状态2下的收入或消费，那么预期效用函数： EU= 。其中U(C1)和U(C2)为一般的效用函数。 预期效用函数EU称为“冯诺伊曼摩根

3、斯坦效用函数”（Von NeunaunMorgenstern Utility Function），以本世纪美国著名数学家冯诺伊曼和经济学家奥摩根斯坦名字命名的，他们两人在数学博奕论领域作出了杰出贡献。,东华理工学院数信学院信息技术系,若消费者一般的效用函数为U= LnC 则，预期效用函数为：EU= lLnC1+ 2LnC2 若U=C，则预期效用函数为： EU= 此时，预期效用等于期望值。 一般地若可能出现n种状态,每一种壮态出现的概率为 预期效用函数为： EU=,EU=,东华理工学院数信学院信息技术系,保险市场： 风险规避者必定会参加保险，但没有说明他会投保多少金额，假设他面临损失10,000元的风险，那么，他会向保险公司投保10,000元的金额，并缴纳相应的保险费，还是投保15,000元 或5,000元金额？这与保险费率的高低以及人们对风险的厌恶程度有关。 假定您现在拥有的财产为W，您面临损失L的可能性（如遭窃、失火、生病、住院等），发生损失的可能性为 ,保险费率为r，即您需要支付rk来购买一张金额（最高赔偿额）为K的保险单。损失没有发生的情况为第1种状态，1状态您拥有的财产为C1,

4、C1=W-rK,东华理工学院数信学院信息技术系,因为无论损失发生与否，保险费是不退回的。 损失不幸发生了，为第2种状态，此时，您能从保险公司得到金额为K的赔偿，您拥有的财富为C2=W-L-rK+K 2状态发生的概率为 ，1状态出现的概率为1- 。 从保险公司的角度来考察，二状态出现，保险公司需支付保险费K；一状态出现，保险公司没有任何支出。但无论那种状态出现，保险公司总能收入保险费rk，假设没有许多人（如10万人）投保，各人之间遭受损失是相互独立的，则保险公司从每个投保人身上可得的预期利润：,东华理工学院数信学院信息技术系,即若投保人数n足够大，保险公司的平均利润将接近n 从保险公司来看，只要收支能平衡，它就愿意经营这项保险业务，且保险市场上有许多家保险公司，且任何厂商均可自由进出该行业，则保险市场将接近完全竞争市场，每家保险公司的经济利润将被压低到最低限度-零。即保险公司由于激烈的竞争会向顾客提供完全“公平”的保险费率，即等于投保人总体遭受损失的概率，即 r= , 从而利润p=0 。,东华理工学院数信学院信息技术系,这样的简单化假设并不太离奇，世界上规模大，经营业务广，跨地区多的保险

5、公司所提供的保险费率都十分接近“公平”费率，因为大公司更容易做到分散风险，收取“公平”费率就足以应付赔偿支出了。 甚至连赌场也是如此，大赌场比小赌场更能提供“公平”（预期收益接近于零）的赌博机会。 那么，一个风险规避者（risk evader）将如何选择K的大小？风险规避者的主要特征：在相同的期望值或预期收益下，风险越小，效用水平越高。而投保人的期望财富值EC为：,东华理工学院数信学院信息技术系,EC=(1- )C1+ C2=,= = W- L（ ) 所以期望值是既定的，与投保金额K的大小无关。 在这种情况下，风险规避者希望使不确定性降到最低限度。即没有任何风险或不确定性，这意味着投保人在任何一种状态下，都将拥有相同数量的财产，即： C1=C2 w-rK=w-L-rK+K得出K=L,东华理工学院数信学院信息技术系,结论：面临“公平”费率的情况下，厌恶风险的投保人将对可能遭受的损失进行全额保险。如，若投保人面临损失10,000元的风险，保险费率为1%，则规避风险的投保人会支付100元的保险费，购买一张最高赔偿额为10,000元的保险单。 众所周知，保险是风险分担的主要手段之一，每个人通过

6、保险公司将自己的风险分散到所有相关投保人身上，从而将自己的风险降到最低限度。所以，别以为是保险公司真正提供了保险或赔偿了损失。在火灾保险的情况下，失火的风险通过许多面临该风险的投保人的分担而分散了，是那些出于谨慎投了保而没有遭受火灾的人真正为火灾提供了保险，是他们支付的保险费，使得保险公司能够在客户提出赔偿要求时给予赔偿。,东华理工学院数信学院信息技术系,如使上述模型中的保险市场有效运转，需要两个前提条件： 首先，分担风险的人必须是相互独立的。如，在人寿保险中，一般情况下，死亡是一种个别风险，并不构成社会风险，若A君死亡，他可能死于心脏病、癌症或车祸（现代都市三大死亡原因），但他的死亡原因反映的只是他自己的情况，不会增加或减少B君、C君或其他人死亡的可能性，所以人寿保险市场可以稳步发展起来。但若流行病很猖劂，情况就不同，若社会死亡率为1%指的是某种恶性流行病（如霍乱）暴发流行的可能性为1%，且疾病一旦流行人人都有死亡的危险，那么这样的人寿保险市场将不可能有效运转。,东华理工学院数信学院信息技术系,再如，一个地方性的保险公司是无法独立承担自然灾害保险业务的，自然灾害（如台风、洪水、地震）

7、不来则已，一旦发生，区域内无一投保人能幸免，保险公司靠几个百分点的保险收入是无法进行赔偿的。所以风险不是充分独立的情况下，保险或分散风险就不起作用。所以许多中小型保险公司还会参加再保险（Reinsurance）。例如，美国著名的劳埃德协会（Lloyds）就是一家保险公司的联合组织或保险公司的保险公司，风险在成员保险公司之间进一步分散。,东华理工学院数信学院信息技术系,东华理工学院数信学院信息技术系,其次，保险市场的有效运转要求不存在“败德行为”（Moral hazard）。败德行为：投保后的人们做出的种种使不利支付发生的概率上升或保险公司赔偿金额增加的行为。如，买了住院保险的人病已痊愈而迟迟不肯出院，买了车辆盗窃保险的车主将没上锁的车随处停放，等等。若存在这些行为，那么，保险公司按原来状况下的概率计算的保险费率将使保险公司陷于财务危机，这一问题属于“不对称信息”问题。,东华理工学院数信学院信息技术系,消费者的目标是力求效用极大化，所以在选择投资资产时，均值-方差效用函数将成为消费者的目标函数。在风险投资市场上，对均值-方差效用函数构成的约束条件是什么呢？ 假定在投资市场上，消费者可以在

8、两种资产中进行选择：一种是无风险资产（Risk-free asset）,这种资产能够保证投资者得到固定的rf作为投资回报率或收益率，如，银行存款为无风险资产；另一种为风险资产，这种资产的收益率是事先无法确定和预知的，如，股票的收益率取决于股市的走向和相关企业的经营状况。,资产组合选择模型,：第i种状态发生时风险资产的收益率； ：第i种状态发生的概率； ：风险资产的预期收益或未来收益的均值； ：相应收益的标准差。（相应风险资产收益的标准差）若您不是一个走极端的投资者，您多半会将财富同时分配在两种资产上，设投入风险资产的比例为X，则，投入无风险资产的比例为1-X。这样一种资产组合（Portfolio）的收益均值,东华理工学院数信学院信息技术系,结论： 资产组合的预期收益是两种组合资产预期收益的加权平均。这一投资组合的方差为：,东华理工学院数信学院信息技术系,结论： 资产组合收益率的方差为风险资产收益 率方差与风险资产所占比例平方的乘积。 相应的标准差为： 在正常情况下，rm应该大于rf，因为作为风险规避者的投资者的要求风险资产具有比无风险资产更高的收益率，即rmrf，所以在资产组合中，风险

9、资产的比例X越高，预期收益率越高，但未来收益的不确定性或风险也会相应增大。,（,东华理工学院数信学院信息技术系,资产组合均衡点为无差异曲线与预算约束线的切点，此时风险与收益的边际替代率等于风险的价格。,图：资产组合选择,东华理工学院数信学院信息技术系,横轴表示资产组合收益的标准差，纵轴表示均值，若投资者将所有的资产投入风险资产，即X=1，那么均值-标准差的组合为 ，即图中的B点；反之，若投资者将所有的资产投入无风险资产，即X=0，那么资产组合的均值-标准差为（rf,O），即A点。若0X1，投资者改变无风险资产和风险资产的投资比重，相应资产组合的均值-标准差 即为图中AB连线上的一点。A、B两点决定的直线方程为：,东华理工学院数信学院信息技术系,将 以及,代入（1）式等号成立，所以AB线即为所求的预算约束线。 按照均值方差效用函数，在图中可画出无差异曲线U1、U2，每一条无差异曲线代表效用水平既定时的各种均值标准差的可能组合。假设人们总体上是厌恶风险的，所以标准差代表的风险是一种“负商品”，且从右下方往左上方向无差异曲线代表的效用水平越来越高。,东华理工学院数信学院信息技术系,标准差的增加是一种“负商品“，那么标准差的减少即为“正常商品”， 或者直观的说，因为人们厌恶风险，随着风险程度（标准差）的提高，人们要求预期效益更大幅度的提高来补偿标准差单位水平的上升。 有了预算约束线和无差异曲线，便能找到“最佳”的投资资产组合，即图中的E点，无差异曲线的斜率与预算约束线的斜率相等，这一斜率称为风险的价格，（风险价格：风险与收益在资产选择中可以此消彼长的相互关系，或两者之间的交换比率）,东华理工学院数信学院信息技术系,所以风险价格P= 从消费者理论可知，这一价格即为无差异曲线在E点的边际替代率，即在E点成立下式：即无差异曲线在E点切线的斜率。 MRS= （Marginal Rate of Substituti

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