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年下新湘教版九年级数学上册.平行线分线段成比例

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1、平行线分线段成比例本节内容 3.2 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是真的吗？观察如下图所示，已知直线abc，直线l1，l2 被直线 a、b、c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且 AB=BC. 过点B作直线l3l2 ，分别与直线a、c相交于点 A2、C2.由于abc，l3l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等” 可知A2B =A1B1，BC2 = B1C1 . 在BAA2和BCC2中，ABA2=CBC2， BA=BC，BAA2=BCC2，因此 BAA2BCC2 . 从而 BA2= BC2，所以 A1B1 = B1C1. 由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 动脑筋如图，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2 相交的平行直线a、b、c.分别度量l1

2、，l2被直线a、b、 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 的长度，与与还相等吗？ = 下面我们来证明：假设，则把线段二等分，分点为D，过点D 作直线da，交l2于点D1，如下图: 把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F 作直线ea，fa，分别交l2于点E1，F1. 由已知，得 . 由于，因此 . 由于adbefc，因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而类似地，可以证明：直线abc，直线被直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC 和A1B1 ，B1C1，若（其中m，n是正整数），则 l1，l2 进一步可以证明，若（其中k为无理数），则，，我们还可以得到：从而结论两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 由此，得到以下基本事实：我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 动脑筋如图，在ABC 中，已知DEBC，则和成立吗？为什么？如图，过点A作直线MN，使MNDE. DEBC ， MNDEBC. 同时还可以得到因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知，结论平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 由此得到以下结论：举例例如图，已知AA1BB1CC1，AB = 2，BC = 3， A1B1= 1.5，求 B1C1 的长. 即，由平行线分线段成比例可知，解因此练习如图，AC，BD相交于点O ，直线MN过点O，且 BAMNCD. 已知 OA=3，OB= 1， OD = 2，求OC的长. 1. 则由平行线分线段成比例可知，解所以 BAMNCD，因为如图，点D，E分别在ABC的边AB，AC上，且 DEBC. 若AB =3，AD = 2，EC =1.8，求AC 的长. 2. 则由平行线分线段成比例可知，解DEBC，又解得中考试题例如图，在ABC中，DEBC，且DB=AE，若AB=5， AC=10，求AE的长. 解由DEBC，可得设 DB=AE=x， AB = 2，BC = 3，（5-x）: 5 = x:10. 解得 x = 即AE的长为结束

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