一种新的gm11预测控制模型及其应用

1、第四届中国不确定系统年会论文集 桂林，2 0 0 6 年8 月1 8 - 2 2 日，第1 0 0 1 0 6 页 一种新的G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型及其应用 饶从军1 ，2 1 黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄州4 3 8 0 0 0 ； 2 武汉理工大学理学院，湖北武汉4 3 0 0 6 3 擅要对于经济管理预测中的具有跳跃点的样本数据序列的预测建模问题，提出了一种纯广义 累加生成的G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型，研究了仅与原始序列有关的模型参数辨识方法和模型参数 的矩阵算式，并给出了纯广义累加生成矩阵的确定方法和模型求解算法。最后给出了该预测模 型在经济管理中的一个应用实例，取得了满意的效果。从而拓宽了G M ( 1 ，1 ) 预测模型的应用范 围，为经济预测的实际应用提供了有效的新预测建模方法。 关键词经济预测，跳跃点数据序列，纯广义累加生成，G M ( I ，1 ) 模型，参数辨识，矩阵算式 1 引言 “凡事预则立，不预则废。”这句话充分表达了预测在管理中的地位和作用。预测是 指人们通过已知推测未知，通过过去推测未来的过程。把科学预测的一系列要素引人

2、到经 济活动过程，就形成经济预测。预测与经济管理的关系极为密切。可以说，经济管理的任 何过程和任何职能的发挥都离不开预测。 在经济管理预测的实际问题中常常会遇到这类问题，即当某个经济系统受到外界环 境或外部因素的影响的时候，其后的系统输出量( 输出数据) 可能会产生跳跃变化的现象， 当外在影响消失后，输出恢复正常。因此，这样具有跳跃点的行为数据序列，不能反映系 统的真实面目 1 。为了使该类序列建立的模型能更好地刻画某些经济现象或某些经济规 律，必须建立合理的经济预测模型。在此方面，文献 2 一文献 6 做了一些研究工作。这 些研究的一个共同特征是：把原始数据序列转化为一光滑序列，再进行常规G M ( 1 ，1 ) 建模， 没有能够直接针对原始序列进行建模。为了从理论上解决直接对具有跳跃点的原始序列建 立高精度的G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型，本文提出一种基于矩阵分析的纯广义累加生成 G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型，并将研究仅与原始序列有关的G M ( 1 ，1 ) 模型参数辨识方法和模型 参数的矩阵算式，且试图给出纯广义累加生成矩阵的确定方法。 2 纯广义累加生成伽(

3、 1 ，1 ) 预测控制模型 在建立预测模型之前，先给出相关的定义与结论。 定义l 设A 为n 阶方阵，A = ) 肷。，如果对每个f ，都有 0 a l f a 2 f 口肼 则称A 为广义累加生成矩阵，简称广义累加生成。 一种新的G M ( I ，1 ) 预测控制模型及其应用 1 0 1 定义2 设z o = o ( 1 ) ，戈o ( 2 ) ，z o ( 挖) ) 为原始序列，A 为广义累加生成矩阵， 则由Y = 触o 生成的序列Y 称为广义累加生成序列。 定理l 设 B = 口0 a a 口口 口口 a a 口口 口口 OO 0 0 0 O O 0 0 B 00 p a0 p a0 p a a ，其中口 0 ， O ， 工o = o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，工o ( ，1 ) ) 为已知序列，由Y = B x o 生成的新序列为 Y = ( ) ，( 1 ) ，) ，( 2 ) ，y ( ，1 ) ) 2i - If - 1i + 1 = ( 锨o ( 1 ) ，锨。( j ) ，缎o ( j ) ，锨。( j ) + 肛。( f ) ，锨。( ，) + 肛。(

4、f ) ， ，= l ，= l J - 1爿 J f ，锨o ( j ) + 厨o ( f ) ) J = l ，f 则艿是一种广义累加生成矩阵，Y 是一种广义累加生成序列。 证由定义1 、定义2 易得。 定义3 称定理l 中的矩阵曰为纯广义累加生成矩阵( 简称为纯广义累加生成) ，生 成序列Y 为纯广义累加生成序列。 对于控制过程中输出的具有跳跃点的序列，从定义3 中的纯广义累加生成出发，提出 如下的纯广义累加生成G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型。 2 1 预测控制模型的建立 设x o = O ( 1 ) ，工o ( 2 ) ，石o ( 栉) ) 为原始数据序列，且其中存在跳跃点，此跳跃点 不妨设为x o ( i ) ，1 f n 。工( 1 ) = ( ( 1 ) ，z 1 ( 2 ) ，1 ( ，1 ) ) 为纯广义累加生成序列， 1 = ( ，1 ( 1 ) ，工1 ( 2 ) ，工1 “一1 ) ，石1 ( f ) ，工1 a + 1 ) ，X 0 ) 仍) ) = ( 锨o ( 1 ) ，锨。( j ) ，锨。( j ) ，锨( _ ) + 犀。( f ) ，锨。(

5、歹) + 屈。( i ) ， J _ lJ = l，= l j = l J 耐 ，锨( J ) + 屈o ( f ) ) j = l J f 则纯广义累加生成的G M ( 1 。1 ) 预测控制模型为 0 O 盯 口口口 口 饶从军 气( 忌) + 口z ( 1 ) ( 足) = b ( 1 ) 其中及= 荔 妻三孑3 J 一1 + 1 一， 一( 忌) = 0 5 x 1 ( 七) + 0 5 x 1 一1 ) ，k - - 2 , 3 ，n 2 2 预测控制模型的参数辨识和参数的矩阵算式 引理均值生成序列Z O ) ( 尼) = O 5 x 1 ) + 0 5 x 1 ( 忌一1 ) ，k = 2 ，3 ，忍的矩阵形式可 表示为 定理2 设A ： Y = 锨1 0 ) ( 2 ) 锨( o ( 3 ) 缎o ( f 一1 ) 肛o ( f ) 锨o ( f + 1 ) 锨( o ( n ) A l = 一口一0 5 口0 0 0 0 一口一口一0 5 a 0 0 0 一o caa o 5 p 00 一aao c p o 5 t x 0 一aa一。 一9 一仪0 一0 5 0 ： 一

6、a- - c l fo c p o c 一o c ，B = 工( 。( 1 ) 一土 口 工o ( 2 ) 0 工o ( ，1 ) 0 0 0 O 0 O 0 一o s a ) ( 。- 1 姗 ，则纯广义累加生成的G t ( t ，1 ) 预测控制模 型( 1 ) 的参数估计矩阵算式为 ( 口，易) r = 【( 彻) r ( 舳) 】一1 ( 仙) rY 证明从G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型出发 吼x o ( 足) + 北1 ( 七) = 易， 以k = 2 ，3 ，n 代入，得方程组 ( 2 ) 枷椰 、棚 o o 吣 5 O O 0 O o 晒 5 5 ， 们们 一。 晒。 一o 一种新的G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型及其应用 把此方程组改写成矩阵方程 ( 3 ) 式右端即为 Y = 戗( 0 ) ( 2 ) + 口z u ( 2 ) = b 锨o ( 3 ) + 口z 1 ( 3 ) = b ； 缎o O 一1 ) + 此1 ( f 一1 ) = b o ( f ) + 口z 1 ( f ) = b t T o c ( o ) O + 1 ) + 口z 1 O

7、 + 1 ) = b ： 锨o ( n ) - I - a z ( 1 ) ( 刀) = b 缎o ( 2 ) 锨o ( 3 ) 锨o “一1 ) 肛o ( f ) 缎o ( i + 1 ) 锨o ( n ) f ，一z ( 1 ( 2 ) 1 1 = l z ：( 3 ：l 三) l z ( n ) 1 j 1 1f ，一o 5 ( 工( 1 ) + 1 ( 2 ) )1 、l 抄匕黧罴p = 慝- ； = 譬毒 一0 5 0 5 oj 0 I l l - 0 5 J ( 。q ) ，1 0 ) 0I l l o - 5 j ( 川舯 X 0 ) ( 1 ) 工1 ( 2 ) ( ，1 ) 0 口 口 口 口 口 口 1 0 3 ( 3 ) 动 吣，I、，、，t ) ) ) I：l r v ( ( Z Z Z 一 一 一 ，J_t-。-_L O 0 捌 、， 、口易， ，一 0 0 地 、厶O O 一 一； 一 O 0 0 O O 0 口 O O 口口 一 口 0声卢夕一声 口口口口 口 O O O O O O 1 0 4 饶从军 工( ( 1 ) 一一1 口 o ( 2 ) 0 工

8、o ( n ) 0 f ，a 1 I 易j 捌2 A 剃舯 工( 。( 1 ) 一一1 口 工o ( 2 ) 0 工o ( 一) 0 ( 垆仰( ：) n x 2 于是有A B ( a 6 丫= Y 由于A B 为n x 2 矩阵，且为列满秩矩阵，据广义逆矩阵的求法口1 ，则其有左伪逆矩 阵 ( A S ) + = 【( 仙) r ( 仙) 】- 1 ( 仙) r 因此有 ( 口，6 ) 丁= ( A B ) + Y = 【( 仙) r ( 彻) 】- l ( 彻) r Y 定理得证。 定理2 直观的给出了模型参数与原始序列的数量关系，避免了在实际应用中计算诸多 中间参数变量，简化了计算过程，从而使得该模型比传统的G M ( 1 ，1 ) 模型可操作性和实用 性更强。 2 3 广义累加生成矩阵的确定 借鉴一次累加生成的G M ( 1 ，1 ) 模型的结论，模型( 1 ) 的白化响应式为 殳l ( 七+ 1 ) ：( 缎( 。( 1 ) 一b ) e - 吐+ 鱼，七：0 ，1 ，2 ， 口口 殳1 ( 尼) 一是1 ( 七一1 ) 爻( o ( 尼) = 殳( ，( 尼) 一篓( -

9、，( 七一1 ) ，k = 2 ，3 ，f 一1 ，f + 1 ，n ， ， k = f ( 4 ) ( 5 ) 显然，在纯广义累加矩阵B 中参数口，未知的情况下，模型参数口，b 为口，的函数。 为了求出模型参数以，b ，需先求出口，。下通过构造平均相对误差函数来确定口，的值。 平均相对误差函数为： 由于建 下列极值问 利用M a t h e m a t i c a 数学软件中的程序命令： F i n d M i n i m u m f ，“口，o t o ) ， ，风) 】 转化为求 D ， 驴 卜 户彬 O D 小 影而 坐帕 删一胪 一心一 煳一f 髓牛黧磐 z 一 怕 一卜 。一 测 一口 业碱 丛 铲一嘲 ，刮0帽 锄 产 蜘玑 耻 一种新的G M ( 1 ，1 ) 预测控制模型及其应用 可求出厂的极小值，并同时输出接近、P o 的口、的值，其中G o 、P o 为给定 的常数。 把求出的口，值回代到( 3 ) 中确定模型参数值a ，b ，再利用( 4 ) 、( 5 ) 式进行预测与预 报。 3 经济预测应用实例 为了说明本文提出的预测模型的可行性，下面给出经济管理预测中的一个应用实例。 城镇

《一种新的gm11预测控制模型及其应用》由会员w****i分享，可在线阅读，更多相关《一种新的gm11预测控制模型及其应用》请在金锄头文库上搜索。