2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学案 北师大版必修4(同名1219)
14页1、4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学习目标1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,PMx轴于M,设P(x,y),|OP|r.思考1角的正弦、余弦分别等于什么?答案sin ,cos .思考2对确定的锐角,sin ,cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?答案不会.思考3若取|OP|1时,sin ,cos 的值怎样表示?答案sin y,cos x.梳理(1)对于任意角,使角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角的正弦函数,记作vsin ;点P的横坐标u定义为角的余弦函数,记作ucos .(2)对于给定的角,点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数.知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角,sin ,cos 都有意义吗?答案由三角
2、函数的定义可知,对于任意角,sin ,cos 都有意义.梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗?答案由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(u,v),则sin v,cos u.当为第一象限角时,v0,u0,故sin 0,cos 0,同理可得在其他象限时三角函数值的符号.梳理正弦、余弦函数在各象限的符号 象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数思考由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化,你能说一下函数的变化周期吗?答案2,4,6,2,等都是函数的周期.梳理一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(xT)f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期.特别地,正弦函数、余弦函数是周期函数,称2k(kZ,k0)为正弦函数、余弦函数的周期,其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正周期,简称为周
3、期.1.函数f(x)x2满足f(36)f(3),所以f(x)x2是以6为周期的周期函数.()提示周期函数需满足对定义域内每一个值x,都有f(xT)f(x),对于f(x)x2,f(0)0,f(06)f(6)36,f(0)f(06),f(x)x2不是以6为周期的周期函数.2.任何周期函数都有最小正周期.()提示对于常函数f(x)c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.类型一正弦函数、余弦函数定义的应用例1已知终边上一点P(x,3)(x0),且cos x,求sin 的值.考点正弦、余弦函数定义的应用题点已知角终边上一点坐标求三角函数值解由题意知r|OP|,由三角函数定义得cos .又cos x,x.x0,x1.当x1时,P(1,3),此时sin .当x1时,P(1,3),此时sin .综上,sin 的值为.反思与感悟(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.在的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r0),则sin ,cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时,用该方法更
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