2011年研究生数学建模优秀论文A90005003

1、 参赛密码 （由组委会填写） 全全 全全 国国 第第 八八 届届 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 学 校 解放军信息工程大学 参赛队号 90005003 队员姓名 1.蒋天立 2.尹洁昕 3.侯晓丹 1 参赛密码 （由组委会填写） 全全 国国 第第 八八 届届 研研 究究 生生 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛题 目 两种 光 子结构猜想的波动 现象 解释及仿 真 摘 要： 为进一步探索光的内在性质，本文通过描述猜想，验证猜想，建立数学仿真模型的步骤对题目中两种光子结构猜想 龚氏光子结构模型和经典光子结构模型进行数学仿真。首先在龚氏光子结构的基础上建立了光的单缝衍射仿真模型，其次依据本文所做猜想对双缝干涉建立了仿真模型；最后，基于经典光子结构建立了光的偏振仿真模型。本文的具体工作包括以下几个方面： 针对光的衍射现象，综合运用理论推导和实验数据对龚氏光子结构模型进行验证。首先对光子结构参数进行理论推导和机理分析，证明其结构参数存在问题，并提出了改进方 法；进而建立光子与缝壁的引力模型和碰撞模型，通过构造光子的运动微分方程组，对光子经过缝隙的偏转问题进行了数学仿真；

2、最后，将光强的计算等效为光子负微子的旋转相位矢量的叠加，基于两种光子数在出射方向上的概率分布，建立了多光子相互作用效果仿真模型，得到与实际相符的光强分布曲线以及衍射图样。衍射仿真结果表明：基于龚氏光子结构的引力模型不能合理解释光子的偏转，碰撞模型在一定条件下能产生符合实际的图样；而基于本文所给光子数关于出射方向是均匀分布的猜想所得衍射光强分布与光学原理中的经验公式相吻合。同时，参数分析表明光 子波长，细缝宽度会对衍射明暗条纹的宽度有所影响；而条纹的光强则与接收点的位置以及接收光子个数有关。 针对光的干涉现象，以光的衍射数学仿真模型为基础，增加了两条缝之间的相互影响，从而建立了一种基于光子出射速度方向均匀分布的干涉仿真模型。 针对光的偏振现象，基于经典光子结构猜想，将透过偏振镜的光强大小等效为通过其的光子个数，建立了偏振数学仿真模型。通过蒙特卡洛方法，得到将近50%的能量穿出比，仿真结果基本与实际相符。 关键字 ： 光 波粒二象性 干涉 衍射 偏振 2 1 问题重述 自从爱因斯坦 1905 年提出光子概念 以来，光的波粒二象性始终困扰着绝大多数人，至今仍然无法令常人像对其他物理现象一样地

3、信服。光与物质相互作用时象粒子一样服从力学定律，但光又有波的内在性质，如：衍射、双缝干涉、偏振以及光子湮灭。光既可以是粒子，又同时是波，但我们至今不能同时看到这两个方面，光究竟以粒子还是以波的形式出现，只决定于实验。 仔细分析可以发现，对光波的内在性质：衍射、双缝干涉、偏振及光子湮灭的解释需要解决三个问题。第一个问题是光通常是按直线前进的，为什么光经过细缝后前进方向会发生改变？为什么必须是光通过很窄的细缝才会使前进方向发生改变 ？第二个问题是若干个光子同时作用的最终效果如何确定？是否仅取决于光子的个数？第三个问题是光通过偏振片的真实过程是什么？ 在爱因斯坦之后继续有许多物理学家致力于探索光子波粒二象性的奥秘，并且也取得一定的进展。如我国已故的龚祖同院士 运用初等量子理论提出一种光子结构理论框架猜想 1，并以此解释了折射、反射、干涉、衍射和布儒斯特角下的线偏振。 最近，北京大学学者提出光子是一个按光速直线前进的电磁场的猜想 2，在电磁场的基础上 建立了一个经典的 单光子的 几何结构模型， 并 从 光 的 粒子 性角度 重新 合理 分析了 杨氏双缝干涉和偏振实验 的 机制。 上述关于光子波

4、粒二象性的猜想在一定程度上能够自圆其说，但只是定性的，还应该经过定量计算的检验。如果经过数学模型的仿真，肯定无法得到和大量物理实验相吻合的结果，则可以否定该猜想，如果在一定条件下可以得到和大量物理实验相吻合的结果，则上述猜想就前进一步，至少目前不能轻易否定。当然既然是猜想就很可能有错误，尤其对这样难度空前 的问题，能够完全解释倒是不正常的。你们的任务是建立仿真这些猜想的数学模型，例如：单缝衍射中衍射缝的尺寸以及光子模型中的尺度、频率等参数对衍射屏上光强的空间分布形式的影响；双缝干涉试验中两条缝之间的距离、缝的宽度与干涉光图样的光强空间分布形式的关系等，并将你们模型得到的结果与诺贝尔物理奖获得者玻恩的光学经典名著光学原理 3中的光的衍射、双缝干涉、多缝干涉的强度近似公式进行比较。你们也完全可以提出改进，而且也可以提出 自己的猜想，设法做出尽可能多的数学仿真。 2 问题分析 光是一种人类眼睛可以见的电磁波（可见光谱）， 是由一种称为光子的基本粒子组成，其具有粒子性与波动性，或称为波粒二象性 4。 2.1 探索 光本性的 历史 过程 人类关于光的本性的认识过程主要可以归结为是光的微粒学说和波

5、动学说相互争论、交替发展的过程。 17 世纪中叶，科学家开始了对光的本性问题的分析，法国数学家、物理学家勒内 笛卡儿（ 1596 1650） 的理论被视作现代物理光学的起点，他 认为光是发光物的 一种机械属性，明确坚持光仅是发光体和传播介质的机械波性质，其观点兼具微粒说和波动说 。在粒子 学 说方面，牛顿（ 1642 1727）继承了笛卡尔的微粒观点，系统提出了光的微粒学说，并使得微粒 学 说 3 在 18 世纪 的欧洲 占据着主导地位。在波动 学 说方面，意大利物理学家格里马尔迪（ 1618 1663）研究光的衍射现象时，首先明确提出了光是波动的观点。 之后，胡克（ 1635 1703）和惠更斯（ 1629 1695）等人提出并完善了光的机械波动理论。 1801 年托马斯杨（ 1773 1829） 进行了著名的杨 氏双缝实验 ，并用衍射实验展现了光的波动性特征。菲涅耳（ 1788 1827）于 1817 年给法国科学院上递了独立完成的波动理论。泊松完善了菲涅尔的数学证明。 1850年，莱昂傅科（ 1819 1868）实验测得光在水中的速度小于光在空气中的速度，用实验证明了波动 学说对

6、光速的预言的正确性，从而否定了粒子理论的预言。 1865 年，麦克斯韦 （ 1831 1879） 的理论预言光是一种电磁波， 1888 年赫兹 (1857 1894)了 证实电磁波存在的实验 ，这似 标志着光的微粒 学说的 终结。 19世纪 ，波动理论几乎在所有光学和电磁学的现 象中得到了验证，这是物理学的一个重大成果。 但到 19 世纪末期，有一些实验现象仍无法得到很好解释，其中一个即为光电效应。直到 1905 年爱因斯坦 （ 1879 1955） 提出 光量子假说 对 光电效应 进行了合理解释 ， 并得到了物理学界 认同， 从而使得 光的 粒子理论重回历史舞台，并开启了光的波粒二象性大门， 爱因斯坦因此获得 1921 年的诺贝尔物理学奖。 1926年，康普顿 （ 1892 1962） 在实验中观测到光子的动量 ，从而证实了光子的存在 。 迄今为止， 关于光 的本性 的理论和实验研究 已 得到了取得了巨大的成就 ， 特别是 20 世纪后期以来，以 量 子电动力学 为基础的量子光学 的发展将麦克斯韦关于光的电磁理论和光量子理论统一起来 ，成为当代物理学的研究热点 5。 然而，自从爱因斯

7、坦提出光子概念以来，人们至今仍不能同时看到光的粒子与波的双重现象，光究竟以粒子还是以波的形式出现，还只决定于实验。因此光子的 波粒二象性仍然困扰着绝大多数人， 无法令常人像对其他物理现象一样地信服。 2.2 光的波粒二象性猜想的数学仿真分析 在爱因斯坦之后有许多物理学家致力于探索光子波粒二象性的奥 秘，量子光学是其中的主流方向，并取得了很多成就，例如在量子色动力学中 6 7，对光子结构的测量显示光子既能以无尺寸粒子，即轻子的方 式参与相互作用；也能以一组夸克和胶子的集合体，即强子的方式参与 。此外 ，其他方向上 的探索也取得了一定的进展，如我国龚祖同院士提出的类似 氢原子的光子结构猜想 ，以及北京大学学者提出的光子是一个按光速直线 前进的电磁场的猜想 。 根据题设， 下面 我们不 涉及 量子光学 的研究， 主要对龚院士文献 1的猜想 和 D.Zu 文献 2的猜想 设计数学仿真实验 ，进行定量计算检验，在仿真过程中，我们 需要 根据 实际情况进行合理的改进，或者探索更多有意义的仿真实验。 为简便处理，下文章中将龚院士文献 1猜想中提出的光子结构称为“龚氏光子结构”，将 D.Zu 文献 2

8、猜想中提出的光子结构称为“经典光子结构”。 首先，基于 龚院士文献 1的猜想，以龚氏光子结构为基础 ， 重点对光子与狭缝的相互作用建立仿真模型 。在仿真模型中主要讨论 光经过细缝后前进方向会发生改变 的原因 ，以及细缝宽度、光子大小等参数对光的衍射“条纹 ”的影响； 其次，对大量光子的相互作用效果进行分析，寻求有效的方式对其进行刻画，并将其落实应用到仿真实验中。 最后，光的衍射和光的干涉之间具有紧密联系，在光的衍射仿真 模型基础上，进一步扩展到对光干涉的分析，并 参照文献 3光学原理中的强度近似公式 对相关参数进行分析讨论 。 4 3 模型假设 与符号说明 3.1 模型假设 1、假设 光 都是垂直入射到缝隙 ； 2、 为研究方便，仿真实验中 均采用一种频率的光子，因而每个光子产生的场强幅值也是一样的。 3.2 符号说明 表示光子 + 表示龚院士光子结构猜想中的正微子 - 表示龚院士光子结构猜想中的负微子 s 干涉 缝的 缝 间距 d 衍射缝的宽度 0 入射光束与衍射光栅面的法线的夹角 (文章中 0 0 ) 衍射光线与衍射光栅面的法线的夹角 c 真空光速 光的圆频率 K 库伦常量 h 普

9、朗克常量 4 模型的建立与求解 4.1 基于龚氏光子结构的 光 衍射 仿真 下面 基于 龚院士文献 1的光子结构猜想，建立引力作用模型和碰撞作用模型 进行 光的衍射数学仿真。 4.1.1 龚氏光子结构 猜想 的提出 龚院士认为波尔的氢原子发光模型存在一些问题，他提出了氢原子的湮灭发光模型，进而对光子结构模型有了猜想。氢原子的湮灭发光模型如图 1 所示，电子将能量释放产生光子因而发生能级跃迁。其基本要点如下： 第一， 由于光子是中性的，而电子是带有负电的，只能给光子传递负电，因此龚院士认为氢原子湮没发光时， 原子核和电 子分别提供其的一部分质量,m x m m x m 和电量 ,Q xe Q xe （ 其中 em m m,x 为提供的质量比 ， | | | |e e e） ，产生一对正负微电子 ,，按照动量守恒定律，正负微电子分裂为两半，分别从 Z 轴的正负方向飞出。因此氢原子的湮没过程可以产生一对光子，而每个光 子是由 2, 2构成 ，质量均为 2em ，电量为 2xe 。 第二，光子是以正微子 2 为核心以负微子 2 为卫星的类氢结构。 第三， 2 绕 2 作等螺距的高速螺旋线旋进，其核心则以真空中的 光子速度 c 匀速向前推进，核心的推进方向即为光子传播方向。 2 有旋转就具有了相位，其旋转一周的周期和光子的频率是对应的。 第四， 2 绕 2 旋进的轨迹在垂直光子传播方向的平面内为一个圆，在 5 平行于光子传播方向且包含该方向的平面内是一条周期性变化的类正弦曲线，它代表光子的偏振性即横波性。 第五，光子的电场与磁场两者方向正交，且皆垂直于光子的传播方向。 xyz光子1光子2电子跃迁轨迹原子核图 1 氢原子的湮灭发光模型 4.1.2 龚氏光子结构的理论验证 以氢原子

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