初二数学竞赛讲座07二次根式的运算解答提示解读
8页1、第七讲 二次根式的运算 式子 (0)叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0); (2) (); (3) (); (4)(0) 同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例1】 已知,则= (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量,初看似乎条件不足,不妨从二次根式的定义入手 注: 二次根式有如下重要性质: (1),说明了与、一样都是非负数; (2) (0),解二次根式问题的途径通过平方,去掉根号有理化; (3) ,揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说,“回到定义中去”,当我们面对条件较少的问题时,记住玻利亚的忠告,充分运用概念解题 提示:【例2】 化简,所得的结果为( )(武汉市选拔赛试题) A B CD思路点拔 待选项不再含根号,从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式提示:原式
2、= (C) 【例3】计算: (1); (2); (3);(4) 思路点拨 若一开始就把分母有理化,则使计算复杂化,观察每题中分子与分母的数字特点,通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系,以此为解题的突破口(1)原式= (2)原式=(3)考虑一般情形原式(4)【例4】 (1)化简; (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 (1)把4+2万与42分别化成一个平方数化简,原式此外,由于4+2与42是互为有理化因式,因此原式平方后是一个正整数,我们还可以运用这一特点求解;原式(2) 原式(3)通过配方可以简化一重根号,本题的关键是就的取值情况讨论,解决含根号、绝对值符号的综合问题原式 【例5】 已知,求的值(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试原式可化为:即,因此有,得;,得;,得。故。学历训练1如果,那么= 2已知,那么的值为 (成都市中考题)提示:原式3计算= (天津市选拔赛试题)原式4若 ab0,则等式成立的条件是 (淄博
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