函数的表示法学案资料

1、函数的表示法学习目标:明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；了解映射的概念及表示方法；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念, 分段函数的图像与值域学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象学习过程: 一 复习：（1）函数的三要素是 、 、 .（2）已知函数，则 ，= ，的定义域为 .（3）初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.解析法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是用 表示两个变量之间的对应关系.比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？二 探究新知1.解析法：用数学表达式表示_之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做_；图象法：以_的取值为横坐标，对应的_y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了_，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法；列表法：列一个两行多列的表格，第一行是_，第二行是对应的_，这种用

2、表格来表示_之间的函数关系的方法叫做列表法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：依据分类讨论思想,在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着_，即在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数，这样的函数通常叫做分段函数说明：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况分段函数是一个函数，而不是几个函数；处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；分段函数的求解策略：分段函数分段解，分段函数是一个函数，只不过x的_不同时，对应法则不相同处理分段函数的求值和作图象时的两个注意点：(1)分段函数求值要先找准自变量所在区间及所对应的解析式，然后求

3、值.(2)分段函数的图象是由几段曲线构成，作图时要注意衔接点的虚实.3.映射概念函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”。当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念。映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“f：AB”映射的判断：如果集合A中的任何一个元素，按照对应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这个对应就是映射，否则就不是映射。方向不同，映射也不同。象与原象：映射是从原象集合到象集的对应。探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意. , ，对应法则：开平方； ，对应法则：平方； , , 对应法则：求正弦. 关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.试试：分析例1 是否映射？ 反思： 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？ 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系

4、，即映射.映射的四个特征(1)确定性：集合A、集合B与对应关系是确定的一个整体；(2)非空性：集合A、集合B都必须是非空集合；(3)方向性：从集合A到集合B的映射f：AB与从集合B到集合A的映射f：BA是不同的映射；(4)多样性：映射的对应方式可以是多对一，也可以是一对一判断一个对应f：AB是否为映射的两点主要依据：(1)任意性：集合A中每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应.(2)唯一性：集合A中任一元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.4.分段函数图象的特点及画法(1)特点：分段函数的图象可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几条线段.(2)画法：画分段函数的图象要分段画，当函数式中含有绝对值符号时，首先要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后再画图象.分段函数求函数值的步骤及注意点(1)步骤：确定要求值的自变量属于哪一段区间；代入该段的解析式求值，直到求出值为止.(2)注意点：当出现f（f（x0）的形式时，应从内到外依次求值.列表法表示函数的使用范围及生活中的实例(1)适用范围：列表法主要适用于自变量个数较少，且为有限个，并且自变量的取值为孤立的实

5、数，同时当变量间的关系无规律时，也常采用列表法表示两变量之间的关系.(2)生活中的实例：生活中经常见到的银行利率表、列车时间表、国民生产总值表等都是采用列表法.图象平移变换的一般原则：(1)左右平移：y=f（x）的图象y=f（x+k）的图象.(2)上下平移：y=f（x）的图象 y=f（x）+k的图象.作函数图象的三个步骤求函数解析式的常见类型及解法(1)已知类型：函数类型已知，一般用待定系数法，但对于二次函数问题要注意一般式：y=ax2+bx+c（a0），顶点式：y=a（x-h）2+k（a0），两根式y=a（x-x1）（x-x2）（a0）的选择.(2)已知f（g（x）型：解答已知f（g（x）求f（x）型问题可采用配凑法，也可采用换元法(3)函数方程问题，需建立关于f（x）的方程组，若函数方程中同时出现f（x），f（1x），则一般x用1x代之；若同时出现f（x），f（-x），一般用-x代替x，构造另一个方程.注意：求函数解析式时要严格考虑函数的定义域.映射与函数的相同点和不同点（1）相同点：函数与映射都是两个集合中的元素的对应；函数与映射分别都有三个要素；函数映射的对应都具有方向性；函数

6、中的两个集合与映射中两个集合都是非空的；对应类型只有：一对一，或多对一（2）不同点：函数是一种特殊的映射，映射是函数的扩展；函数中的两个集合是非空的数集，映射中的两个集合的元素是任意的。课内自测1.某种笔记本的单价是2元，买x (x1，2，3，4，5)个笔记本需要y元试用三种表示法表示函数.2.作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.3.邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（00) By100x(x0) Cy(x0) Dy(x0)9.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水则正确论断的个数是()A0 B1 C2 D310.一个弹簧不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_11.已知函数yf(x)满足f(x)2f()x，则f(x)的解析式为_12.已知f(x)是一次函数，若f(f(x)4x8，则f(x)的解析式为_13.已知二次函数f(x)满足f(0)f(4)，且f(x)0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式14.动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.15.中国移动公司

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