【通用版】2018届中考数学专题提升（13）以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1、专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图 Z131，DB 为半圆的直径，A 为 BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12，BC9，求 AO 的长图 Z131 经典母题答图解：如答图，连结 OE，设O 的半径是 R，则 OEOBR.在 RtACB 中，由勾股定理，得AB15.AC2BC2AC 切半圆 O 于点 E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB， ，解得 R，OEBCAOABR915R15458AOABOB15R.758【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长【中考变形】1如图 Z132，在 RtACB 中，ACB90，O 是AC 边上的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与 AB相切于点 D，连结 OD.(1)求证：ADOACB；图 Z132(2)若O 的半径为 1，求证：ACADBC.证明：(1)AB 是O 的切线，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.，ADACODBCADBCACO

2、D，OD1，ACADBC.22017德州如图 Z133，已知 RtABC，C90，D 为 BC 的中点，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 E.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长图 Z133 中考变形 2 答图解：(1)证明：如答图，连结 OE，EC，AC 是O 的直径，AECBEC90，D 为 BC 的中点，EDDCBD，12，OEOC，34，1324，即OEDACB，ACB90，OED90，DE 是O 的切线；(2)由(1)知BEC90，在 RtBEC 与 RtBCA 中，BB，BECBCA，BECBCA，BEBCBCBABC2BEBA，AEEB12，设 AEx，则 BE2x，BA3x，BC6，622x3x，解得 x ，即 AE .663如图 Z134，已知 AB 是O 的直径，BCAB，连结 OC，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E.(1)求证：直线 CD 是O 的切线；(2)若 DE2BC，求 ADOC 的值图 Z134中考变形 3 答图解：(1)证明：如答图，连结 DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OA

3、OD，DAOADO，CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即 ODCD.又点 D 在O 上，直线 CD 是O 的切线；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO， .ADOCDECEDEDECD2342016广东如图 Z135，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC30.过点 B 作O 的切线 BD，与 CA 的延长线交于点 D，与半径AO 的延长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF，与直径 BC 的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE；(2)若 SAOC，求 DE 的长；34(3)连结 EF，求证：EF 是O 的切线图 Z135中考变形 4 答图解：(1)证明：BC 为O 的直径，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC 为等边三角形，即OACAOC60，AF 为O 的切线，OAF90，CAFAFC30，DE 为O 的切线，DBCOBE90，DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC 为等边三角形，SAOCOA2，3434OA1，BC2，O

4、B1，又DBEO30，BD2，BE，DE3；333(3)证明：如答图，过点 O 作 OMEF 于点 M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即 OE 平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF 为O 的切线52017株洲如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且 BEEF，线段 CE 交弦 AB于点 D.(1)求证：CEBF；(2)若 BD2，且 EAEBEC31，求BCD 的面积5图 Z136中考变形 5 答图解：(1)证明：如答图，连结 AC，BE，作直线 OC，BEEF，FEBF，AEBEBFF，F AEB，12C 是的中点，ABACBCAECBEC，AEBAECBEC，AEC AEB，AECF，CEBF；12(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，即，ADCBAECEADCB35CBDCEB，BCDECB，CBECDB，即，BDCBBECE2CB15CB2，AD6，AB8，5点 C 为劣弧 AB

5、的中点，OCAB，设垂足为 G，则 AGBG AB4，12CG2，CB2BG2SBCD BDCG 222.12126如图 Z137，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，AE 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连结 AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC 平分BAD；(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由图 Z137 中考变形 6 答图解：(1)证明：如答图，连结 OC.PE 是O 的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC 平分BAD；(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB3PB.理由：AB 是O 的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P 是公共角，PCBPAC，PC2PBPA，PCPAPBPCPBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016枣庄如图 Z138，AC 是O 的直径，BC 是O 的弦，P 是O 外一点，连结 PA，PB，AB，已知PBAC.(1)求证：PB

6、是O 的切线；(2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2，求 BC 的长2图 Z138 中考变形 7 答图解：(1)证明：如答图，连结 OB，AC 是O 的直径，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA90，即 PBOB.PB 是O 的切线；(2)O 的半径为 2，OB2，AC4，222OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90，ABCPBO，即，BC2.BCBOACPOBC2 24 2882017聊城如图 Z139，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连结 BD，CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P.(1)求证：PD 是O 的切线；(2)求证：PBDDCA；(3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB 的长图 Z139 中考变形 8 答图解：(1)证明：圆心 O 在 BC 上，BC 是O 的直径，BAC90，如答图，连结 OD，AD 平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即 ODBC，PDBC，ODPD，OD 为O 的半径，PD 是O 的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180，ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC 为直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD 垂直平分 BC，DBDC，BC 为O 的直径，BDC90，在 RtDBC 中，DB2DC2BC2，即 2DC2BC2100，DCDB5，PBDDCA，2，即 PB.PBDCBDACDCBDAC5 2 5 28254【中考预测】2017黄冈模拟如图 Z1310，AB 为O 的直径，CD 与O 相切于点 C，且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明：(1)DAEC；(2)OA2ODOF.图 Z1310 中考预测答图证明：(1)如答图，连结 OC，CD 与O 相切于点 C，OCD90.OCBDCF90.DDCF90，OCBD，OBOC，OCBB，BAEC，DAEC；(2)BAEC，DB，ODBC，BFOOCD90，BOFDOC，即，OCOFODOBOAOFODOAOA2ODOF.

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