2024年四川省成都市中考数学一轮复习 第6讲 三角形及性质

第6讲 几何图形初步常考题型：u 考点一 平行线的判定及性质判定：①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行； ④补：平行于同一直线的两条直线平行.性质：①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补.u 考点二 线段中垂线及性质定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”.性质：①垂直平分线垂直且平分其所段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③补：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等；逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.中垂线的尺规作图：①分别以线段的两个端点为半径，大于线段的二分之一长度为半径作圆，两圆段的两侧分别交于M，N两点；②连接MN即得线段的垂直平分线.u 考点三 等腰三角形的性质等腰三角形的性质：① 等腰三角形的两腰相等；② 等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；③ 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合（简称：三线合一）.u 考点四 等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.说明：① 等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既可以作为性质，又可以作为判定；② 等腰三角形的判定和性质互逆；③ 判定定理在同一个三角形中才能适用。

u 考点五 等腰三角形的性质及判定的综合应用（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段；（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的作法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析；（3）等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定式，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当先选择简便方法来解决u 考点六 等边三角形的性质与判定（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件，同时等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备“三线合一”的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件；（2）等边三角形的特性，如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等；（3）等边三角形的判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则通过获取一个60°的角判定。

u 考点七 直角三角形的性质与判定知识点1：直角三角形的性质定理（1）在直角三角形中，两锐角互余，（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. （3）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点2：直角三角形的判定定理（1）有一个角等于90°的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （4）勾股定理的逆定理；如果三角形的三边长a，b，c满足a²十b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.二级结论：①在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. ②含30°角的直角三角形的三边之比为1：3：2. ③含45°角的直角三角形的三边之比为1：1：2.一、 【典例剖析】1.如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）A. B. C. D. 2.如图，将含有30度的直角三角尺（）的直角顶点E放到矩形ABCD的边BC上，若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°3.如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．4.如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若，，则AC的长为_________．5.如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则______．6.如图，已知 P是∠AOB的平分线上一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，，如果C是OB上一个动点，则 PC的最小值为 。

7.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E.（1）求∠CDE的度数;（2）求CE:EA的值8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AC，AC作垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高，DE，DF，CG的长度之间存在着怎样的等量关系？并证明.9.如图，在锐角△ABC的边上分别作等腰和等腰，其中∠APB和∠AQC都是直角，点M是BC中点，连接 PM，QM，PQ.求证：为等腰直角三角形.10.已知两个共顶点的等腰，连接AF，M是AF的中点，连接MB，ME.（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若，求BM，ME的长；（3）如图2，当时，求证：BM=ME.11.【情境观察】长方形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到和，如图1所示，将的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知，与BC相等的线段是 ， .【问题探究】如图3，在中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向外作等腰和等腰，过点E，F作射线GA的垂线，垂直分别为P，Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.二、 【真题演练】1.（2022台湾）如图为两直线L、M与△ABC相交的情形，其中L、M分别与BC、AB平行．根据图中标示的角度，求∠B的度数为何？（　　）A．55 B．60 C．65 D．702.（2022广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）A． B．3 C． D．4.（2022南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　）A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝95.（2022苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 　 　．6.（2023成都）如图，已知≌，点B，E，C，F依次在同一 直线上，若，，则CF的长为 .7.（2023成都）在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E.若△BDE与四边形ACED的面积比为，则的值为 .8.（2022宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 　 　．9.（2022怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．10.（2022山西）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．三、 【中考预测】1.（改编题）如图，在等腰中，AB＝AC，∠A＝36°，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD．则∠CBD的度数为 _____．2.如图，在中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，已知AB=3，AC=6，则AD的长为 .3.（原创题）在等腰中，AB=BC=4，D为斜边AC的中点，∠EDF=90°，且∠EDF的两边与的两边AB，BC分别交于点E和F.（1）求证：DE=DF；（2）求在∠EDF绕点D旋转的过程中，当∠ADE=60°时，BE的长.（3）在∠EDF绕点D旋转的过程中，四边形DEBF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由. 。