2024年四川省成都市中考数学一轮复习 第4讲 一次函数和反比例函数

第4讲 一次函数和反比例函数常考题型：知识清单：函数图象性质经过象限变化规律（为常数且）　过一二三象限　图象左低右高，随增大而增大　（正比例函数）过一三象限　　过一三四象限过一二四象限图象左高右低，随增大而减小　（正比例函数）过二四象限　过二三四象限　过一三象限在每个象限内，随增大而减小过二四象限在每个象限内，随增大而增大一、 【典例剖析】1.如图，点A是反比例函数图象上的一点，点B是反比例函数图象上的点，连接OA、OB、AB，若∠AOB＝90°，则OBAB＝　 　 第1题图 第2题图 2.如图，已知点A（t，1）在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转45°得到OB，若反比例数的图象经过点A、B，则＝　 　．3.如图，直线l与反比例函数的图象在第二象限交于B、C两点，与x轴交于点A，连接OC，∠ACO的角平分线交x轴于点D．若AB：BC：CO＝1：2：2，△COD的面积为6，则k的值为　 　． 第3题图 第4题图4.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接，．若的面积是20，则点的坐标为　　．5.如图所示，一次函数y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移与反比例函数交于点C、D，连接BC交x轴于点E，连接AC，已知BE＝3CE，且S△ACE＝．（1）求直线BC和反比例函数解析式；（2）连接BD，求△BCD的面积．6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）和点B（4，n）．（1）求这两个函数的解析式；（2）已知点M段AB上，连接OA，OB，OM，若S△AOM＝S△BOM，求点M的坐标．【总结】①反比例函数中的面积问题一般可用铅锤法或割补法进行求解；②面积比值和倍数问题可先表示出两个三角形的面积，也可以利用几何法转换为底边或高的比值关系进行解答。

7.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m）（1）求这两个函数的解析式；（2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值．【总结】等腰三角形一般利用“两圆一线”作出三角形，然后再根据腰相等用两点间的距离公式列出相关方程解答8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为．（1）求过点B的反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；（3）反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，求出Q点的坐标．【总结】直角三角形一般利用“两线一圆”作出三角形，然后再利用①代数法：勾股定理写方程；②几何法：作K型相似解答特别地：等腰直角三角形可作K型全等进行解答9.如图，反比例函数过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B．（1）求反比例函数和直线AC的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．【总结】平行四边形的存在问题一般利用对角线互相平行，对四个顶点进行对角线分类，然后利用中点重合，两条对角线的中点横纵坐标分别相等列出方程（组）解答。

10.如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标．二、 【真题演练】1.（2022天津）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） 2.（2022宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥轴于点E．若DC的延长线交轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 　 　，点的坐标为 　 　．3.（2022衡阳）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（3，1），B（﹣1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．4.（2022成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．5.（2023成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线.（1） 求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2） 若点C在直线上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；（3） P是直线上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及的值.三、 【中考预测】1.（改编题）如图，已知点A（1，t）在第一象限，将OA绕点O顺时针旋转60°得到OB，若反比例数（k＞0）的图象经过点A、B，则k＝　 　．2.（原创题）已知矩形OABC的边OA和OC分别在轴和轴的正半轴上，边BC和ABC分别与反比例函数交于点E，F，对角线OB交反比例函数与点G，且，若B的坐标为，则= .3.（原创题）已知反比例函数与一次函数交于点和.（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）C为反比例函数图象上一点，且满足，求点C的坐标；（3）P为轴上一点，当△ABP为直角三角形时，求出点P的坐标.。