2024年四川省成都市中考数学一轮复习第5讲 二次函数

第5讲 二次函数常考题型：u 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．u 二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．① 当时，随的增大而减小；② 当时，随的增大而增大；③ 当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．① 当时，随的增大而增大；② 当时，随的增大而减小；③ 当时，有最大值．u 二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．u 二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.u 二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.u 二次函数的图象与各项系数之间的关系：1. 二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴ 在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”3. 常数项⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．u 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．u 二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.一、 【典例剖析】1.二次函数的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点A、点B、点C在该函数图象上，则；（5）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．已知抛物线经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当时，随的增大而增大；③关于的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（　　）A．0 B．1 C．2 D．33.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数是销售价格（单位：元）的一次函数．（1）求关于的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润.4．如图，已知两直线，分别经过点，点，且两条直线相交于轴的正半轴上的点，当点的坐标为时，恰好有，经过点、、的抛物线的对称轴与、、轴分别交于点、、，为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明与的数量关系？并说明理由；（3）若直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．5.如图，开口向上的抛物线与轴交于，、，两点，与轴交于点，且，其中，是方程的两个根．（1）求点的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段的直线交轴于点，交线段于点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，直线分别交轴、轴于点，，过点的抛物线与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交于点，连接交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线过点和，顶点为，直线与抛物线的对称轴的交点为，，平行于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，点的横坐标为，四边形为平行四边形．（1）求点的坐标及抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上取一点，同时在抛物线上取一点，使以为一边且以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点和点的坐标．9.如图，直线与坐标轴交于、两点，抛物线经过点，与直线交于点，且与轴交于，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点在抛物线上，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．二、 【真题演练】1.（2022宁波）点A，B都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为（　　）A． B． C． D．2.（2022株洲）已知二次函数，其中，则该函数的图象可能为（）A． B． C． D．3．（2022温州）已知点A，B，C（c，7）都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c4.（2023成都）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）A.抛物线的对称轴为直线 B.抛物线的顶点坐标为C.A，B两点间的距离为5 D.当时，随的增大而增大 第4题图 第5题图5.（2022滨州）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．16.（2022随州）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（　　）①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7.（2022随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应个（为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第天（1≤≤15，且x为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天12…6…11…15供应量（个）150150+…150+…150+…150+需求量（个）220229…245…220…164（1）直接写出与和与的函数关系式；（不要求写出的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．8.（2022娄底）如图，抛物线与轴相交于点A、点B，与轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点在抛物线上，当取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2022成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于轴的对称点为B'．（1）当时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．。