湖南省长沙市2025年一模数学试题附答案

一模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数中，最大的是（　　）A． B． C．2 D．2．习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．3．下列运算中，正确的是（　　）A． B．C． D．4．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和295．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，则（　　）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，一次函数的大致图象是（　　）A． B．C． D．8．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（　　）A．12 B．11 C．10 D．99．如图，是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（　　）A． B． C． D．10．如图，在中，，，，用图示的尺规作图方法在边上确定一点则的周长为（　　）A．10 B．15 C．16 D．20二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式： 　 　． 12．《哪吒2：魔童闹海》在春节档上映后票房火爆，在2025年2月17日突破了120亿元票房，进入全球票房榜前10名．其数据12000000000用科学记数法表示为　 　．13．若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是　 　．（结果保留）14．如图，菱形的周长为为8，对角线相交于点O，点E为的中点，则的长为　 　．15．如图，在中，点，分别在，上，若，，，则的长为　 　．16．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三（6）班举办了“古诗词”大赛．现有小中、小雅、小双三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分均分别为a，b，c，（且a，b，c均为正整数），选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据所给信息，判断小中同学共得到了　 　轮第一名．　第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮最后得分小中a　　a　　27小雅　a　　bc11小双　c　b　　10三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．计算：18．先化简，再从，1，2，0四个数中选一个喜欢的数作为x的值代入求值．19．如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼高，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端D点测得A的仰角为，，在顶端E点测得A的仰角为，．（1）求两楼之间的距离；（2）求发射塔的高度．20．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人频率100.115ba0.3540c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）补全频数直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．21．如图，，点D在边上，，和相交于点O．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；（2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？23．如图，为的直径，直线与相切于点，于点，交于点．（1）求证：平分；（2）求证：；（3）若，求的值．24．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”．（1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由．（2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值．（3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值．25．如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线．（1）①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ；②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ．（2）如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标．（3）如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F段上运动时，求出t的取值范围．答案 1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】12．【答案】13．【答案】14．【答案】115．【答案】1516．【答案】517．【答案】解：．18．【答案】解：原式且，∴当时，原式．19．【答案】（1）解：如图，过点E作于点F，，，，∵四边形为矩形，，∴两楼之间的距离为.（2）解：在中，，，，∴发射塔的高度为.20．【答案】（1），，．（2）解：补全频数分布直方图如图：（3）解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．21．【答案】（1）证明：∵和相交于点O，∴．又∵在和中，，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴．（2）解：∵，∴，在中，∵，∴，∴．22．【答案】（1）解：设乙种分类垃圾桶的单价是x元/个，则甲种分类垃圾桶的单价是元/个，由题意可知：，解得，经检验是所列方程的根且符合题意（元/个）答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个；（2）解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，由题意可知：，解得，答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个．23．【答案】（1）证明：连接，如图，∵为的切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴平分．（2）证明：连接、，如图，是的直径，∴∴∴．（3）解：如图，设，则，，∵，∴，∴在中，，∵是的直径，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．24．【答案】（1）解：令，解得，，存在“双减点”.（2）解：∵“双减点”P在直线上，∴设点C、D坐标分别为，，∵，∴，∴，，，且直线与轴的夹角为，，，，解得：，此时，，.（3）解：∵，由于“双减点”唯一，此方程，，∴，n为m的二次函数当时，n的最小值为t，∴当时，，此时t无解；当时，，解得：，当时，，解得：，（舍去），综上所述，或.25．【答案】（1）①，；②4（2）解：由题意分以下两种情况讨论：①如图，若为切线，则点P是直线与直线的交点．此时．②如图，若为切线，则，点P是直线（y轴）与直线的交点．易得的解析式为．此时综上所述，，．（3）解：不妨设G为切点，和为直线与的两个交点，且为短弦，为长弦共有2种临界情况，分别位于点D和经过点O的的垂线上．①当F位于点时，为的切线，连结，，，，，；②当F位于经过点O的的垂线上时，如图：，，，，∴，由题易得：，，，在直角三角形中，∴解的：，在两种情况下，最小值在内，最大值在，综上所述，t的取值范围为或.。