用向量方法处理立体几何

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,用向量方法处理立体几何,北京市第二中学数学组,赵中华,内容编排,空间的直线和平面,主要学习空间的直线、平面间的平行和垂直关系空间向量,主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用夹角和距离,掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线的距离的概念和计算A),和(,B),对定理处理不一致的地方,P13,连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,P14,P18,推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.,P44,公式,cos,=cos,1,cos,2,P49:,任意两条异面直线有且只有一条公垂线,.,P14,P57:,平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.,二面角的平面的定义,cos,=cos,1,cos,2,公式的应用,例题：,PA,PB,PC,是从,P,引出的3条射线，每两条的夹角都是60度，则直线,PA,与平面,PBC,所成角的余弦是？,A,C,B,O,P,二面角的平面角的定义,A,:,B,:,一个平面垂直于二面角,-,l,-,的棱,l，,且与两个半平面的交线分别是射线,OA,OB,O,为垂足，则,AOB,叫做二面角,-,l,-,的平面角。

P45),引进向量的意义,几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几何是几何代数化的需要实验几何、综合推理几何、三角学、解析几何,有效的研究几何的代数方法面积和体积的计算、质点组几何、笛卡尔时代的坐标几何，向量几何等降低立体几何的教学难度传统方法：形到形向量方法：运算体系相似用代数方法进行推理，掌握空间图形的性质引进向量的意义,扩充学生的运算体系向量是一个运算对象矩阵、微积分向量的广泛应用科技，经济以及日常生活各个领域都有着广泛的应用对物理学习的帮助,地位和作用,用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角,，,在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率,向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,夹角,与,距离,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,公式,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,夹角,与,距离,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,课时安排,夹角和距离,公式,1,1,2,2,2,1,教学建议,用类比法教学,：,空间向量是平面向量的推广。

空间向量和平面向量的联系和区别不必追求理论上的严谨性,重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途多采用教具,空间观念薄弱,使学生直观地掌握本节内容,需辨证地利用向量方法来解决实际问题9.5空间向量及其运算,空间向量及其线性运算,共线向量和共面向量,空间向量的分解定理,两个向量的数量积,空间向量及其线性运算,空间向量的概念、表示、相同或相等关系空间向量的加法、减法、数乘向量,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,共线向量和共面向量,空间向量共线或平行的定义和表示,空间共线向量定理及其推论,空间向量的向量参数方程及线段中点的向量公式,空间向量共面的概念及其表示,共面向量定理及其推论(空间向量参数方程),简单应用,空间向量基本定理,空间向量基本定理,空间向量的基底,空间向量基本定理的推论两个向量的数量积,空间向量的夹角、向量长度的概念和表示方法空间向量的数量积的概念和计算方法、性质、运算律,向量解决立体几何问题中线面垂直、线线垂直两点间距离的基本方法步骤,教学要求,理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘运算了解空间向量基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。

掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式理解直线的方向向量，平面的法向量、向量在平面内的射影等概念教学要求#,了解,空间向量基本定理,理解,空间向量的概念,空间向量坐标的概念,直线的方向向量,平面的法向量,向量在平面内的射影？,掌握,空间向量的加法、减法和数乘运算,空间向量的坐标运算,空间向量的数量积的定义及其性质,用直角坐标计算空间向量数量积的公式,掌握空间两点间的距离公式,前后不一致的地方,投影与射影,记号的的不一致,法向量,法向量的用途,线面所成角,二面角(12题,),点到平面的距离,法向量的求法,法向量例题,已知,A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).,求平面,ABC,的单位法向量,法向量应用,x,y,z,y,z,x,法向量应用：线面垂直,二面角,x,y,z,法向量的应用：点到面的距离,空间向量处理的问题,共面问题平行,利用,P28,共线向量定理,a,/,b,a=,b,(,b,0,是实数,),垂直,利用,P33,数量积的性质：,a,b,a,b=0,角,利用,P33,数量积的定义,cos=,距离,利用,P34,数量积的性质：|,a,|,2,=,a,a,利用向量解决几何题的一般方法,P35,把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算和证明,如何恰当地建立空间直角坐标系,正方体、长方体、长方体的1/2,1/6,如何选择基底,异面直线所成的角,x,y,z,异面直线所成的角,x,y,z,直线和平面垂直,线线垂直,线线垂直,7,在空间四边形,ABCD,中，,M,N,分别是,AD,BC,的中点，求证：2,MN=AB+DC,且,MN,AB,CD,平行于同一平面,。

证明,共面问题,P,是,ABC,所在平面外的一点，,PD、PE、PF,分别是,APB、APC,BPC,的平分线，且,PD,PE，,求证：,PE,PF,PF,PD所以,PF,PE,；,同理,PF,PD,证明,直线和直线垂直,A,B,8,在平行六面体,AC,中，,E,F,G,分别是,AD,DD,DC,的中点，求证：平面,EFG/,平面,ABC证明,面面平行,13,在平行六面体,AC,中，,AB=AD,AAD=AAB,=,DAB,=60,.,(1),求证：,AA,BD;,(2),当的值为多少时，才能使,AC,平面,ABD.,请证明证明,线线线面垂直,13(2),在平行六面体,AC,中，,AB=AD,AAD=AAB=DAB=,60,.,(2),当的值为多少时，才能使,AC,平面,ABD.,请证明解：,线线线面垂直2,平面向量,空间向量,对比表1,平面向量,空间向量,对比表2,平面向量,空间向量,对比表3,平面向量,空间向量,对比表4,向量与直线的区别,平行直线和平行向量,共面直线和共面向量,总体的建议,重视空间向量的概念、运算方法及其应用，而不必过多追求理论上的严谨性，侧重于掌握向量这一工具的性质和用途。

空间向量是平面向量的推广，内容和结构都与平面向量基本一致因此，宜用类比法由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握本节内容需辨证地利用向量方法来解决实际问题法向量应用,E,F,G,返回,。