医学影像系统原理CT重建课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/2/27,,‹#›,,,医学影像系统原理,:CT,图像重建算法,,,,“,图像信息处理与智能控制,”,教育部重点实验室,,2024/9/4,医学影像系统原理:CT图像重建算法,1,2,,一、反投影法,二、傅立叶变换法,三、滤波反投影法,目录,,2 一、反投影法目录,3,X,射线衰减的计算,根据朗勃,-,比尔,(Lamber-Beer),吸收定理,,X,射线穿过长度为,L,,吸收系数为 的体元,,,则穿过该体元后的,X,射线强度为,:,穿过第二个体元时的,X,射线强度为,:,,类似地,,,穿过第,n,个体元时的,X,射线强度为,:,,(1),3X射线衰减的计算根据朗勃-比尔(Lamber-Beer)吸,4,X,射线投影与,CT,扫描,(CT scan),在,CT,重建过程中,,,为了确定不同点的吸收系数,,,我们需要首先计算出每个体元的吸收系数,.,从数学角度,,,为了求解,n,个吸收系数,,,需要建立,n,个以上独立方程,.,因此,, CT,成像装置要从不同方向上进行多次观测,,,即扫描,,,以获取足够多的数据建立求解吸收系数所需要的方程组,.,一次投影,,,可获得多个方程,.,,4X射线投影与CT扫描(CT scan)在CT重建过程中,为,图像重建方法,图像重建方法就是图像矩阵的求解方法,.,按照,CT,成像原理,,,如有,N×N,的图像矩阵,,,应有,N×N,个独立的线性方程,,,并且求解,N×N,的图像矩阵中的体元的吸收系数,.,对于,N×N,个独立的线性方程组求解,,,可以采用联立方程法,(,直接矩阵法,),和迭代法,(,逐次近似法,),等常用的数学方法,.,然而由于这些方法计算时间长,,,不能满足图像重建的基本要求,,,目前,CT,成像装置中已不再使用,.,5,图像重建方法图像重建方法就是图像矩阵的求解方法.按照CT成像,N,次,X,射线投影平移加上,N,次旋转,6,0,1,N-1,… …,N次X射线投影平移加上N次旋转601N-1… …,,7,7,8,反投影法,反投影法,(Back projection),又称总和法,,,此法是利用投影数值近似地复制出吸收系数的二维分布,.,其原理是将所测得的投影值按其,原投影路径平均地分配到经过的每一点上,,,各个方向投影值反投影后,,,在影像点进行累加,,,从而推断出原图像,.,8反投影法反投影法(Back projection)又称总和,9,投影与反投影,物体向坐标的影射称之为投影,坐标方向向物体的影射称之为反投影,9投影与反投影物体向坐标的影射称之为投影,10,反投影重建示意图,10反投影重建示意图,11,边缘失锐与伪影,若某吸收体为一小正方形,,,当采用反投影法进行重建时所获得的重建图像不是正方形,,,变成了“星,”,状物,,,中心处吸收系数最大,,,离中心越远,,,吸收系数越低,,,这就是图像的边缘失锐,.,因此,,,反投影法存在的主要缺点就是影像的边缘处不清晰,.,如果在一均匀的组织密度内,,,存在吸收系数极不均匀的部分时,,,反投影图像与原图像会出现图像的伪差,(image artifact).,例如取一圆柱形单密度体的若干投影,,,利用反投影法重建图像呈现出星形伪影,.,显然,,,反投影越多,,,重建图像越接近原图像,,,但由于存在星形伪影,,,使得重建图像的边缘部分模糊不清,.,11边缘失锐与伪影若某吸收体为一小正方形,当采用反投影法进行,12,边缘失锐与圆形单密度反投影,12边缘失锐与圆形单密度反投影,模糊因子,从数学角度上可以证明,,,对于圆形单密度体,,,反投影重建图像的吸收系数,f,b,(x,y),可以描述为,:,,其中 表示二维卷积符号,,,表示反投影的吸收系数与实际的吸收系数之间的差异,,,是造成图像边缘模糊的主要原因,,,故它又被称之为模糊因子,.,只有消除模糊因子,,,才能获得与原图像类似的重建图像,.,13,模糊因子从数学角度上可以证明,对于圆形单密度体,反投影重建图,示例,-Shepp Logan,脑模型,,示例-Shepp Logan脑模型,14,,15,15,Sinogram,,Sinogram,16,伪彩,Sinogram,,伪彩Sinogram,17,,,18,18,1,,1,19,2,,2,20,3,,3,21,4,,4,22,5,,5,23,6,,6,24,7,,7,25,8,,8,26,9,,9,27,10,,10,28,,,医学影像系统原理CT重建课件,29,,,医学影像系统原理CT重建课件,30,傅立叶变换法,傅立叶变换法是解析法中的一种,,,它是基于使图像矩阵的求解与图像投影的傅立叶变换之间建立确定的关系,.,傅立叶变换法是一种从频域上校正图像模糊,,,修正模糊因子的图像重建方法,.,它包括两种利用傅立叶变换进行图像重建的方法,:1.,二维傅立叶变换法,;2.,傅立叶变换反投影法,.,31,傅立叶变换法傅立叶变换法是解析法中的一种,它是基于使图像矩阵,傅里叶变换,,傅里叶变换,32,从投影到图像（中心切片定理）,,从投影到图像（中心切片定理）,33,34,二维傅立叶变换法,假设图像矩阵,f(x,y),的二维傅立叶变换为,:,,若,空间频率,坐标以极坐标来表示,,,则有,:,,,则二维傅立叶变换可写为,:,,(1),,34二维傅立叶变换法假设图像矩阵f(x,y)的二维傅立叶变换,X,射线投影路径,35,X射线投影路径35,X,射线投影路径,由于在,X,射线扫描中,, X,射线的投影,P,总是与,X,射线路径,L,有关,,,为此引进一个新的坐标系,(,极坐标,t,- ),来描述,X,射线路径,L,的位置,.,设,X,射线路径,L,到极坐标中心,O,的距离为,t,,,与,y,轴夹角为,,,则,X,射线路径,L,用直线方程表示为,:,,当在某一 角度时,,,则沿,X,射线路径,L,的投影为,:,,(2),,36,X射线投影路径由于在X射线扫描中, X射线的投影P总是与X射,投影数据,投影数据,37,Radon,变换,38,Radon变换38,投影与线积分,,,投影与线积分,39,沿,t,方向的一维傅立叶变换,沿t方向的一维傅立叶变换,40,从投影数据的一维傅立叶变换,,恢复二维数据的傅立叶变换,,从投影数据的一维傅立叶变换恢复二维数据的傅立叶变换,41,推而广之,,推而广之,42,不同方向投影数据的傅立叶变换就可以得到二维傅立叶变换的近似估计值,,不同方向投影数据的傅立叶变换就可以得到二维傅立叶变换的近似估,43,投影变换定理图解,,投影变换定理图解,44,吸收系数图象的恢复,,吸收系数图象的恢复,45,46,二维傅立叶变换法,将,(1),式的投影函数进行一维的傅立叶变换,,,是在 角度时投影的傅立叶变换形式,:,,由上面分析可见,,,图像在某一 角度上投影的傅立叶变换正好等于该图像吸收系数相对应角度,( ),剖面上的二维傅立叶变换,.,若在整个 平面上添满了全部角度投影的傅立叶变换值,,,那么就可以用图像的二维傅立叶变换来表示原图像,f(x,y),的变换值,,,再由二维傅立叶反变换即可得到重建后的原图像,.,,46二维傅立叶变换法将(1)式的投影函数进行一维的傅立叶变换,47,二维傅立叶变换法,,47二维傅立叶变换法,,48,48,49,傅立叶变换反投影法,二维傅立叶变换法被认为是最理想的图像重建算法之一,.,但因该方法需要进行正反两次傅立叶变换,,,计算量比较大,,,在实际应用中不易实现,.,在反投影法中,,,反投影重建图像的吸收系数与实际图像之间存在一个模糊因子,,,如果利用二维傅立叶变换表示,,,则,:,,上式说明校正模糊失真的步骤可先将,f,b,(x,y),做二维傅立叶变换,,,然后,将变换结果用 加权,,,即可得到真正图像的二维傅立叶变换,.,通过反变换就可重建真实图像,.,49傅立叶变换反投影法二维傅立叶变换法被认为是最理想的图像重,滤波反投影法,滤波反投影也是解析法中的一种,.,这种方法为了消除模糊因子的影响,,,并将二维傅立叶变换改变为只进行一维傅立叶变换,,,既可校正失真,,,又可简化计算,,,提高重建速度,.,采用卷积计算的滤波反投影法是当前,CT,成像装置中应用最为广泛,,,故也称之卷积反投影法,(Convolution Back Projection, CBP).,50,滤波反投影法滤波反投影也是解析法中的一种.这种方法为了消除模,滤波反投影的基本原理,根据反投影法中关系式,:,,式中的投影 用一维傅立叶反变换代替,,,同时用 乘除变换上式得到,:,,(3),,,51,滤波反投影的基本原理根据反投影法中关系式:51,滤波反投影的基本原理,(3),式与二维傅立叶变换法公式比较,,,会发现二维傅立叶变换重建原图像吸收系数,f(x,y),与反投影法重建图像吸收系数,f,b,(x,y),之间正好相差一个,.,这里 正是 的傅立叶变换形式,,,即反投影重建图像,f,b,(x,y),由于模糊因子 造成图像模糊,,,使,f,b,(x,y),与,f(x,y),有误差,.,消除模糊因子的影响,,,可以采取对每一投影的傅立叶变换值用 加权,,,以产生失真的重建图像,.,52,滤波反投影的基本原理(3)式与二维傅立叶变换法公式比较,会发,卷积计算的实现,根据傅立叶变换的卷积定理,:,,上式说明在频域内,,,投影的傅立叶变换 用 进行变换或滤波,,,等效于投影 与滤波函数 的傅立叶反变换进行卷积计算,.,的傅立叶反变换在时域中可以构造成滤波函数,h(t).,通过选取不同的滤波函数,,,对于投影 进行有效地滤波,,,达到满意的重建图像效果,.,卷积计算中存在的主要问题是如何确定空间滤波函数,h(t) ,,它是,CT,成像软件中的核心机密,.,53,卷积计算的实现根据傅立叶变换的卷积定理:53,,54,54,,55,55,滤波反投影法,,（,Filter Back projection,）,,滤波反投影法（Filter Back projection,56,示例,投影,示例投影,57,,反投影,反投影,58,反投影重建,,反投影重建,59,滤波投影数据,滤波,滤波投影数据滤波,60,滤波反投影重建,滤波反投影,滤波反投影重建滤波反投影,61,,,62,62,,,63,63,思考题,能否采用比体元数少的投影方程数重建,CT,图像,?,为什么,?,如果可能,,,请给出你的实现方案与步骤,.,64,思考题能否采用比体元数少的投影方程数重建CT图像?为什么?,结束语,当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。

When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End,结束语,65,感谢你的到来与,聆听,学习,并没有结束，希望继续,努力,Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help,感谢你的到来与聆听,66,。