2025考研数学（一）真题试卷及解析

2025 考研数学（一） 真题试卷及解析一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．001. 已知函数 f ( x ) = ? x et2 sin tdt ， g ( x ) = ? x et2 dt •sin 2 x ，则A. x = 0 是 f ( x ) 的极值点，也是 g ( x ) 的极值点．B. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = g ( x ) 的拐点．C. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点．D. (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点， (0, 0) 也是曲线 y = g ( x ) 的拐点．【答案】B【解析】f ? (x) = ex2 sin x, f ⅱ (x) = 2xex2 sin x + ex2 cos xf ? (0) = 0, f ⅱ (0) = 1 > 0 .数学试题及解析 第 1页（共 3 页）x = 0 是f (x)的极值点.?g? (x) = ex2 sin 2 x + sin 2x xet2 dt ,0gⅱ (x) = ex2 sin 2x + 2xex2 sin 2 x + sin 2xex2 + ? x t 2g? (0) = 0,gⅱ (0) = 0,gⅱ? (0) > 0 .2 cos 2x e dt0(0, 0) 是y = g (x)的拐点.? n3π? ? 1 1 ?数学试题 第 2页（共 3 页）3 n23 n22. 已知级数：① ?sin；② ?(-1)n ? - tan ? ，则n=1n2 +1n=1 ? ?A. ①与②均条件收敛． B．①条件收敛，②绝对收敛．C．①绝对收敛，②条件收敛． D．①与②均绝对收敛．【答案】B【解析】n3p n2 +1? ?? n3p ?n n 1sin= sin ? n2 +1 - np? = sin n2 +1p ~ n2 +1p~ n p.? 1n? 发散 \不是绝对收敛.n=1sin(n3p)= (-1)nsin ? n p - ? - np? =3?n ( 1) sinn p，为交错级数.n2 +1? n2 +1 ?n2 +1sinn p递减，\条件收敛.n2 +1??(-1)n ? 1 - tan 1 ??3 n23 n2?.n=1 ? ?(-1)n ? 1 - tan 1 ? = - 1 1 + o ? 1 ? .3 n23 n2n2? ?? ?? ? 3 n2 ? ?3 n23 n2? 1 ?n ? 1 1 ??n2收敛 \ ?(-1) ? - tan ? 绝对收敛n =1n =1 ? ?3. 设函数 f (x) 在区间(0, +?) 上可导，则数学试题 第 4页（共 3 页）A．当 limx??B．当 limx??f x 存在时， lim( )x??( )f ? x 存在时， limx??f ?( x ) 存在．f ( x ) 存在．xC．当 lim ?0f (t ) dt 存在时， limx??f ( x ) 存在．x?? xD．当 limx??【答案】Df ( x ) 存在时， lim ?0xx??f (t ) dt 存在．x【解析】 A 错误，反例：sin x2? 2x2 cos x2 - sin x2f (x) =, limx x??f (x) = 0, 但 lim fx??(x) = limx?? x2, 极限不存在.B 错误，反例： f (x) =x , f ?(x) =, lim12 xx??f ?(x) = 0, 极限存在，但 limx??f ( x) 极限不存在.C 错误，反例:xf (x) = cos x, 则 lim ?0 f (t)dt = lim sin x 存在，但 limf ( x) = lim cos x 不存在.x?? xx?? xx??x??xD 正确，用 lim ?0f (t)dt= limf (x) = A ，故选D .x??x x?? 1? 24- x2 44. 设函数 f (x, y) 连续，则?-2dx f (x, y )dy =4- yA． ?4 ??-f ( x, y )dx + ?f (x, y )dx?dy ．20 ?? -24- y4- yB． ?4 ??f ( x, y )dx + ???2f (x, y )dx?dy ．4- y0 ?? -2 ??C． ?4 ??-f ( x, y )dx + ?f (x, y )dx?dy ．4- y4- y0 ?? -2 2 ??24- y4D． 2?0 dy?【答案】Af ( x, y )dx ．数学试题 第 10页（共 3 页）【解析】由题易知，此二重积分积分区域为D = {( x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, -2 ? x ? 2 }，对应图像为上图所示。

记D1= {(x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, -2 ? x ? 0} ， D= {(x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, 0 ? x ? 2}，且2 42I= dx f (x, y )dy ，则I=f (x, y )ds+f (x, y )ds ，交换积分次序得?-2 ?4- x2蝌 蝌D1 D24- y4- y4 - 4 2I=?0 dy?-2 f (x, y )dx +?0 dy?f (x, y )dx= ?4 ??-f (x, y )dx + ?f (x, y )dx? dy4- y4- y20 ?? -2 ??故 A 正确5. 二次型 f ( x , x , x ) = x 2 + 2x x + 2x x的正惯性指数1 2 3 1 1 2 1 3A．0． B．1．C．2． D．3．【答案】B【解析】?1 1 1 ?? ?A= ?1 0 0 ?? ??1 0 0 ??l-1 -1-1? ?l-1 -1-1 ? ?l-1 -1-1?(lE - A) = ? -1 l 0 ? ? ? 0 l -l? ? l? 0 1 -1?? ? ? ? ? ?? -1 0l? ?-1 0l? ?-1 0 l?? ? ? ? ? ?= l[l(l-1) -1-1]= l(l2 - l- 2)= l(l- 2)(l+1)解得l1 = 0,l2 = 2,l3 = -1故正惯性指数为 1，选 B.6．设a1 ,a2 ,a3 ,a4 是n 维列向量，a1 ,a2 线性无关，a1 ,a2 ,a3 线性相关，且a1 +a2 +a4 = 0 .在空间直角坐标系O - xyz 中，关于 x, y, z 的方程组 xa1 + ya2 + za3 =a4 的几何图形是A．过原点的一个平面． B．过原点的一条直线．C．不过原点的一个平面． D．不过原点的一条直线．【答案】D【解析】记 A = (a1,a2,a3 ) ，由a1,a2 线性无关，a1,a2,a3 线性相关，可得 r ( A) = 2 。

记A = ( A a4 ) = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) ，再由a1 +a2 +a4 = 0 ，则 r ( A) = 2 于是 Ax = a4 有无穷 多解则 xa + ya + za =a 等价于(a,a ,a )?( x, y, z )T =a ，即 A ? (x, y, z )T = a 1 2 3 4 1 2 3 4 4若过原点，则a4 = 0 与a1,a2 线性无关矛盾，故不过原点 a11x + a12 y + a13z = a14? a x + a y + a z = axa + ya + za =a ? ? 21 22 23 24 ，由上述分析可知 r ( A) = r (A ) = 2 ，故1 2 3 4 ?? …??an1x + an 2 y + an3 z = an 4两平面交于一条直线，且不过原点故选 D7．设 n 阶矩阵 A, B, C 满足 r ( A) + r (B ) + r (C ) = r (ABC )+ 2n ，给出下列四个结论：① r ( ABC ) + n = r ( AB ) + r (C );② r ( AB ) + n = r ( A ) + r (B );③ r ( A) = r (B ) = r (C ) = n;④ r ( AB ) = r (BC ) = n.其中正确结论的序号是A．①②． B．①③．C．②④． D．③④．【答案】A? 0 0 ? ? ?0 1【解析】 A = ? 1 0 ? , B = ? 0 0 ? ,C = E ，满足 r( A) + r(B) + r(C ) = r( ABC ) + 2n ，则? ? ? ?r( A) = 1, r(B) = 1, r(C ) = 2 ，排除结论③④，故选 A.8．设二维随机变量( X ,Y ) 服从正态分布 N (0, 0;1,1; r) ，其中 r? (-1,1) .若 a, b 为满足a2 + b2 = 1 的任意实数，则 D (aX + bY ) 的最大值为A．1． B．2．C．1+ r． D．1+ r2 ．【答案】C【解析】D(aX + bY ) = a 2DX + b 2DY + 2abr?1?1= a2 + b2 + 2abr = 1+ 2abr= 1+ 2a1- a 2r=f (a)1 - a 21- a2? ? -a ? ?a2 ?1- a2f (a) = r? 2+ 2a ?? = 2r? -? = 01- a2? ? ? ?1- a2 - a21- 。