2025考研数学（二）真题试卷及解析

2025 考研数学（二） 真题试卷及解析一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 设函数 z = z(x, y) 由 z + ln z - ? x e-t2 dt = 0 确定，则 ?z + ?z =数学试题及解析 第 1页（共 3 页）y( )A. z e- x2 - e- y2 ．( )z +1B. z e- x2 +e- y2 ．z +1( )C． - z e-x2 - e- y2 ．z +1( )D． - z e-x2 + e- y2 ．z +11. 【答案】A?x ?y【解析】，分别对 求偏导，得：002. 已知函数 f ( x ) = ? x et2 sin tdt ， g ( x ) = ? x et2 dt •sin 2 x ，则A. x = 0 是 f ( x ) 的极值点，也是 g ( x ) 的极值点．B. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = g ( x ) 的拐点．C. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点．D. (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点， (0, 0) 也是曲线 y = g ( x ) 的拐点．【答案】B【解析】f ? (x) = ex2 sin x, f ⅱ (x) = 2xex2 sin x + ex2 cos xf ? (0) = 0, f ⅱ (0) = 1 > 0 .数学试题 第 4页（共 3 页）x = 0 是f (x)的极值点.?g? (x) = ex2 sin 2 x + sin 2x xet2 dt ,0gⅱ (x) = ex2 sin 2x + 2xex2 sin 2 x + sin 2xex2 + ? x t 2g? (0) = 0,gⅱ (0) = 0,gⅱ? (0) > 0 .2 cos 2x e dt0(0, 0) 是y = g (x)的拐点.03. 如果对微分方程 y ?-2ay?+(a+2 ) y = 0 任一解 y ( x ) ，反常积分 ?+? y ( x )dx 均收敛，则 a 的取值范围为A.( - 2，-1] . B.( - ?，-1] .C.( - 2，0). D.( - ?，0).3. 【答案】C【解析】当 时， yⅱ + 4 y? = 0 ，通解： ， 时， 不收敛.故 B、D 排除.当时，，通解： 收敛.4. 设函数 f ( x ) ，g ( x ) 在 x = 0 某去心邻域内有定义且恒不为 0，若 x ? 0 时，f ( x ) 是 g ( x )的高阶无穷小，则当 x ? 0 时A. f ( x ) + g (x ) = o (g (x )) .B. f ( x ) g ( x ) = o ( f 2 (x )) .C. f ( x ) = o (eg ( x) -1).D. f ( x ) = o (g 2 (x )) . 4.【答案】C【解析】由题易知， 时， 是高阶无穷小.则有 及 ， .又，在 某去心邻域内有定义且不恒等于 0.故对于 选项，等式两端同除 得：取极限得即 ，显然 A 不成立.对于 B 选项，等式两端同除 得两端取极限得 , 即 ，显然不成立.对于 C 选项，等式两端同除 得取极限得显然有 ，故 正确.对于 D 等式两端同除得2 4取极限得，显然不成立.综上选 C.5. 设函数 f (x, y) 连续，则dx f (x, y )dy =A． ?4 ??-?-24- yf ( x, y )dx + ??4- x24- y2f (x, y )dx?dy ．0 ?? -24- yB． ?4 ??f ( x, y )dx + ???2f (x, y )dx?dy ．4- y0 ?? -2 ??C． ?4 ??-f ( x, y )dx + ?f (x, y )dx?dy ．4- y4- y0 ?? -2 2 ??24- y4D． 2?0 dy?【答案】Af ( x, y )dx ．【解析】由题易知，此二重积分积分区域为D = {( x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, -2 ? x ? 2 }，对应图像为上图所示。

数学试题 第 5页（共 3 页）记D1= {(x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, -2 ? x ? 0} ， D= {(x, y) 4 - x 2 ? y ? 4, 0 ? x ? 2}，且2 42I= dx f (x, y )dy ，则I=f (x, y )ds+f (x, y )ds ，交换积分次序得?-2 ?4- x2蝌 蝌D1 D24- y4- y4 - 4 2I=?0 dy?-2 f (x, y )dx +?0 dy?f (x, y )dx= ?4 ??-f (x, y )dx + ?f (x, y )dx? dy4- y4- y20 ?? -2 ??故 A 正确B. ?0 (x2 +1)36. 设单位质点 P, Q 分别位于点(0, 0) 和(0,1) 处，P 从点(0, 0) 出发沿 x 轴正向移动，记G 为引力常量，则当质点 P 移动到点(l, 0) 时，克服质点Q 的引力所做的功为（ ）?l GA. 0 x2 +1 dxl Gx dx2?0 (x2 +1)l G2C. 3 dxl G(x +1) dx2D. ?0 (x2 + 31)【答案】A【解析】由题可知，其对应如图所示. 单位质点 P 与单位质点 Q 之间的引力为其中 为两质点间的距离.旦由图可知 又引力 F 在 方向上的力投影为 .故克服引力做功为：数学试题 第 7页（共 3 页）111W = F dx = G xdx =Gx dx(x2 +1)1+ x2?0 x ?0?0 3(1+ x2 )27. 设函数 f (x) 连续，给出下列 4 个条件：① limx?0② limx?0存在；f (x) - f (0)xf (x) - f (0)存在；x③ limx?0存在；f (x)x④ limx?0存在.f (x) - f (0)x其中可得到“ f (x) 在 x = 0 处可导”的条件个数为A.1 . B.2 . C.3. D.4.7. 【答案】B【解析】①. 或 为正.若 为正，则当 x ? 0 时. 有 .则 ?若 ，数学试题 第 10页（共 3 页）limx?0+?lim -x?0-f ( x ) xf ( x ) x= A，则存在，若 ，则不存在.= A②由，则若，则若，则从而②成立.③由④存在，则存在，则在. 则同①，从而③错.处可导 在 处可导，④正确.从而①③错误，②④正确，选 B.? 1 2 0 ?8. 设矩阵? 2 a 0 ? 有一个正特征值和两个负特征值，则（ ）? ?? 0 0 b?? ?A.a > 4, b > 0B.a < 4, b > 0C.a > 4, b < 0 D.a < 4, b < 0【答案】D【解析】? 1 2 0 ?令 A = ? 2 a 0 ? ，为实对称矩阵，对应二次型为 f ( x , x , x ) = x 2 + ax 2 + bx 2 + 4x x ，? ? 1 2 3 1 2 3 1 2? 0 0 b?? ?则用配方法将其化为标准型， f ( x , x , x ) = (x + 2x )2 + (a - 4)x 2 + bx 2 。

已知 A 有一正两1 2 3 1 2 2 3负特征值，则??a - 4 < 0?a < 4?? b < 0? ?b < 0 ，故选 D.? 1 1 0 1 ?? ?9. 下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵? 0 0 1 2 ? 的是? ?? 0 0 0 0 ?? 1 1 0 1 ?? ?? 1 2 1 3 ?.? 2 3 1 4 ??1 1 0 1?? ??1 1 2 5?.?1 1 1 3?A. ? ? B. ? ?? 1 0 0 1 ?? ?? 0 1 0 3?.? 0 1 0 0 ?? 1 1 2 3?? ?? 1 2 2 3?.? 2 3 4 6 ?B. ? ? D. ? ?9. 【答案】B【解析】A 选项：B 选项： C 选项：D 选项：10. 设 3 阶矩阵 A, B 满足 r( AB) = r(BA)+1, 则A. 方程组( A + B) x = 0 只有零解.B. 方程组 Ax = 0 与方程组 Bx = 0 均只有零解.C. 方程组 Ax = 0 与方程组 Bx = 0 没有公共非零解.D. 方程组 ABAx = 0 与方程组 BABx = 0 有公共非零解.【答案】D【解析】取 ,则 ， .， .排除 B，C. ， 排除 A,故选 D.dx = ln 2 ，则 a = . 二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分．数学试题 第 14页（共 3 页）?+?。