2025考研数学（三）真题及答案解析

2024 考研数学（三） 真题一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.在 x ? 0+ 时，下列无穷小量中与 x 等价的是数学试题及解析 第 1页（共 3 页）A. e-sin x -1 . B.x +1- cos x . C.1- cosln (1 + x)2 x-. D.1 .x1. 【答案】C【解析】e-sin x -1 ~ -sin x ~ - xA 不对.x +1- cos x ~ 1 x2B 不对.2 x1- 1p) 2 = xC 对.cos~ ( 2x -2x2 21- ln(1 + x) = 1-+ o x2()x x= x + o(x) 2D 不对.002. 已知函数 f ( x ) = ? x et2 sin tdt ， g ( x ) = ? x et2 dt •sin 2 x ，则A. x = 0 是 f ( x ) 的极值点，也是 g ( x ) 的极值点．B. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = g ( x ) 的拐点．C. x = 0 是 f ( x ) 的极值点， (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点．D. (0, 0) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点， (0, 0) 也是曲线 y = g ( x ) 的拐点．【答案】B【解析】f ? (x) = ex2 sin x, f ⅱ (x) = 2xex2 sin x + ex2 cos xf ? (0) = 0, f ⅱ (0) = 1 > 0 .x = 0 是f (x)的极值点.?g? (x) = ex2 sin 2 x + sin 2x xet2 dt ,0gⅱ (x) = ex2 sin 2x + 2xex2 sin 2 x + sin 2xex2 + ? x t 2数学试题 第 3页（共 3 页）g? (0) = 0,gⅱ (0) = 0,gⅱ? (0) > 0 .2 cos 2x e dt0(0, 0) 是 y = g (x) 的拐点.? n ? 1 ? k ??3.已知 k 为常数，则级数?(-1) ? n - ln ?1+ n2 ??n=1? ? ??A.绝对收敛. B.条件收敛. C.发散. D.敛散性与 k 的取值有关. 3．【答案】B【解析】? n 1当 k = 0时, ?(-1)n=1条件收敛n? n 1 ?n ? k ?当 k ? 0 时，原级数为?(-1)n - ?(-1) ln ?1+ n 2 ?n=1n=1 ? ?为条件收敛 十 绝对收敛 故原级数条件收敛 1 y4. 设函数 f ( x ) 连续， ?0 dy?0f ( x )dx =1 1A. ?0 xf ( x ) dx . B. ?0 ( x +1) f ( x )dx .1 1C. ?0 ( x -1) f ( x )dx . D. ?0 (1- x) f ( x )dx . 4．【答案】D【解析】1 y?0 dy?0f (x)dx01 y y 1 1= ?0 ?0f (x)dxdy = y?0f (x)dx- ?0 y ? f (x)dy1 1= ?0 f (x)dx - ?0 y f ( y)dy1 1 1= ?0 f (x)dx - ?0 x f (x)dx = ?0 (1- x )f (x )dx5. A 是 m? n 矩阵， b是m 维非零列向量，若 A 有 k 阶非零子式，则A. 当 k = m 时， Ax = b有解. B. 当 k = m 时， Ax = b无解.C. 当 k < m 时， Ax = b有解. D. 当 k < m 时， Ax = b无解.5. 【答案】A【解析】r( A)?k若 k = m . 则 r( A) = m r( A, B) = m故 r( A) = r( A, b) = m ,则 Ax = b有解6. 设A 为 3 阶矩阵，则“ A3 - A2 ”可对角化是“ A 可对角化”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 【答案】B【解析】令 f ( A) = A3 - A2 ,若 A 可对角化，则 A 中有 n 个线性无关的特征向量，故 f ( A) 有 n 个线性无关的特征向量，故 f ( A) 可? 0 0 1 ?? ?对角化；若 f ( A) 可对角化，取 A = ? 0 0 0 ? , f (A) 可对角化， A 不可对角化.综上为必要不充分条件，? ?? 0 0 0 ?数学试题 第 10页（共 3 页）选 B。

1 27. 设矩阵A=? ? 1 0 ?( )，B = ，若 f x, y =xA + yB是正定二次型，则 a 的取值范围是（ ）? -2- a ?? 1 a ?? ? ? ?3A. ( 0,2 - )B. ( 2 -C. ( 2 +D. ( 0,4 )3 ,2 + )33 ,4 )7. 【答案】B【解析】f (x, y) = -a (x 2 - y 2 )- (2xy - 4x 2 )= (4 - a)x 2 + ay 2 - 2xy = (x, y) ? 4 - a-1? ? x ?? -1a ? ? y ?? ? ? ??4 - a > 0? a < 4?? ? 4 - a -1> 0?33??2 - < a < 2 +，得a ?(2 -3, 2 +3) .选 B?? -1 a ??8. 设随机变量 X 服从正态分布 N ( -1,1) ，Y 服从正态分布 N (1,2 ) ，若 X 与 X + 2Y 不相关，则 X 与 X - Y的相关系数为（ ）1A.31B.22C.33D.48. 【答案】D【解析】Cov( X , X + 2Y )= Cov( X , X ) + 2 Cov( X ,Y ) = 0= DX + 2 Cov( X ,Y ) = 0Cov( X ,Y ) = - 1 DX = - 12 2Cov( X , X - Y ) = Cov( X , X ) -Cov( X ,Y ) = DX -Cov( X ,Y )=1 + 1 = 32 2D( X - Y ) = DX + DY - 2 Cov( X ,Y ) = 1+ 2 - 2 ?- 1 ?= 4? 2 ?? ?DX = 1\rX , X -Y3= 2 = 32 ?1 4 .209. 设 X1 , X 2 ,L, X 20 是来自总体 B (1, 0.1) 的简单随机样本.令T = ? Xi ，利用泊松分布近似表示二项分布i=1的方法可得 P{T ? 1} ?A． 1e232． B． e2 ．4C． e2 ． D． e2 ．9. 【答案】C【解析】由题意。

可知T ~ B(20.0.1), np = 20 ?0.1 = 2p{T?1} = p{T = 0} + r{T = 1}= 20e-2 +2 e-2= e-2+ 2e-2 = 310! 1! e210. 设总体 X 的分布函数为 F ( x ) ， x1 , x2 ,鬃?, xn 为来自总体 X 的简单随机样本，样本的经验分布函数为Fn ( x ) ，对于给定的 X( 0 < F ( x ) < 1 ) ， D ( Fn ( x ) ) = （ ）A. F ( x )(1- F ( x ) )B. ( F ( x ) )2C. 1 F ( x )(1- F ( x ) )nD. 1 ( F ( x ) )2n10. 【答案】C【解析】FA (x) 为样本中 {xi?x}发的概率I (x) = ?1 xi ? x. Z (x) ~ B[1.F (x)]0i > x? i? xi1 n?1 n? 1 1Fn (x) = n ? Ii (x) D [Fn (x) ]= D ?n ?Zi (x) ? = n 2 nDZi (x) ? n F (x)[1 - F (x)]i=1? i=1 ?二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分．11. 设 g (x) 是函数 f ( x ) = 1 ln 3 + x 的反函数，则曲线 y = g ( x ) 的渐近线方程为 .2 3 - x【答案】y = ?3【解析】y = 1 ln 3 + x Þ 2 y = ln 3 + x2 3 - x令Þ e2 y = 3 + x =3 - x663 - x3 - x-1Þ x = 3 - e2 y +1（g x) = 3 -6e2 y +1， lim （g x) = 3. lim g（x) = -3.x xdx = ln 2 ，则 a = .故 y = g（x) 渐进线方程为 y = ?3?+?12. 设 1a x (2x + a )x2x + a【答案】 2【解析】+? ? 1 -2 ?dx = ln+? = ln 2 ,解得 a = 2.?1 ? x2x + a ? 1? ?13. 微分方程 xy' - y + x2ex = 0 满足条件 y (1) = -e 的解为 y = .【答案】y = -xex【解析】xy- y + x2ex= 0 Þ yy- = -xex-xÞ y = e1 dx x[òe1 dx x(- xe x )dx + C )= - x(ex + C)代入 y(1) = -e, 得C = 0故解y = -xex。