重积分的应用

1、第四节重积分的应用1 求半径为a的球的表面积。解 取上半球面方程为z=.a2=x2【y2，则它在x0y面上的投影 区域 D=x, y )x2 +y2 兰 a2 。由傘一x辽一-y由 _欣 Pa2 _x2 _y2欣 Ja2_x2_y2因为这函数在闭区域 D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。 所以先取区域Di二如y)x2 +y2兰b2 (0ba)为积分区域，算出相应于 Di上的球面面积Ai后，令ba取Ai的极限就得半球面的面积。aAi=.Didxdy2 2 2a -x - yb ；-d.a22利用极坐标，得Ai= !.!.Dib Pd P(: 2 2=2 a=2 二a a _ a - b0 .a22于是ijmA =哩2皿-“272)=2请这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A = 4：a22,设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h=3600km，运行的角速度与地球自转的角速度相同。试计算该通讯卫星的覆盖面积 与地球表面积的比值（地球半径 R=6400km）解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z轴，建立坐标系，如图9-40所示。通讯卫星覆盖的曲面匕是上半球面被半

2、顶角为a的圆锥面所截得的 部分。的方程为R：2 2 2 Dxy . R x yydxdy其中戈是曲面在xOy面上的投影区域，Dxy訣x,y ）x2 +y2 WR2sin2/利用极坐标得2兀 Rs iRRs i a PA 二 d，：d =2二Rd -00.R220.R222=2二R 1 -c o ：s由于cos ，代入上式得R+h2“ R 、2 hA=2江R 1 |=2兀R I R+h丿R+h由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为A4R26:42.5%h _36102 R h 2 36 6.4 *106又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积， 故使用三 颗相隔2二角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。33.求位于两圆，=2sin和，=4sin之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D对称于y轴，所以质心CM必位于y轴上，再按公式yD心计算y。由于闭区域d位于半径为i与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3二。再利用极坐标计算积分：211 yd ；-:sin 力d r =DDo sin rd v4sin sin56 sin0因此

3、 丫二丄3兀 3所求质心是C 0,7 II 3丿类似的，占有空间有界闭区域门、在点X,y,z处的密度为，x,y,z （假 定t x, y, z在上】连续）的物体的质心坐标是- 1 1 1xxx,y,zdv,yyzdv,z = zx,y,zdvMMM 其中 M ： I i Fix,y,z dvQ4. 求军于半球体的质心。解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设求半径为a,则半球体所占空间闭区域门-:x, y, z x2 y2 z2 弐a2, z 亠0显然，质心在z轴上，故x一 1 1z iii zdv iii zdvM V门其中V二a3为半球体的体积322兀上L3iiizdv= r cos * r sindrd d j - d 2 coss in d ? r drQ Q31si n2l2a4 na4=2兀.| o .=2 一44因此，Z=3a，质心为0,0,3a8I 8丿5. 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量 n对于其直径边的 转动惯量。解 取坐标系如图9-42所示，则薄片所占闭区域D =、x, y x2 y2 _ a2, y _ 0I而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯

4、量Ilx =y2d匚-sin2 动dDD4a 32a 2=0 d0sin刘sind1 II 4二12aMa424其中M =- al为半圆薄片的质量。2类似的，占有空间有界闭区域，在点处的密度为，x,y,z （假定x,y,z在上门连续）的物体对于X, y，z轴的转动惯量为lx ： IIIy2 z2 x,y,zdvQI y ： I 丨丨 ix2 z2x, y, z dvQlz x2 y2 x,y,zdv6. 求密度为，的均匀球体对于过球心的一条轴I的转动惯量。解 取球心为坐标原点，z轴与轴I重合，又设求的半径为a,贝吐求 体所占空间闭区域M - x, y, z x2y2z2 空 a2 I所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为lz = x2 y2 ?dv=P (r2 sin2 cos2 日 +r2sin2 sin2 日 r2 sindrd半d日2打汀a:：-:iiir4sin3 drd d - 一 茁sin3 d r4dr0*00何3 I寺 |2mQ5=:2一： * 5 其中M =4二a为球体的质量。37.设半径为R的匀质球占有空间闭区域二：x,y,z x2 y2 z2R2?。求它对位于Mo

5、 0,0,a a R处的单位质量的质点的引力。解 设球的密度为0，由球体的对称性及质量分布的均匀性知，所求引力沿z轴的分量为z - a3|2Rr dv =G% L(z-a dz ff2 y2 亠 i.z -a 2R2兀尺= Z -a dz 0 2 0x2 y2 欢 &dxdy32 y2 亠 i. z-a?】2r2 三：-d ：-b2 z-a 21 _ 1 、(a-z jR2_2az+a21 R= 2GG -2R R_ a fR= 2Go. z-aRdzz -a d R2 -2az a2=2 兀GPo 2R+2R 2R33a24二R3 、1M_ -G 一o 2 _ _G 23 aa其中M二竺订为球的质量。上述结果表明：均匀球对球外一点的如3同球的质量集中于球心时两质点间的引力。第十二节含参数变量的积分1.设x=r,应用尼茨公式，得 j“. sinx = x cosxy dyx23-2x小sinx ,22x1xx2.sin xyixb -x2sinx3 sinx2 3sinx3 - 2sinx2+ =dx,(0 c a v b)In x因为bIn x-xy 1 xydy =In xj所以1 bI dx xydy% a这里函数f x,y i=xy在矩形R=0,1 a,b上连续，根据定理2,可交换积分次序，由此有1b1yb1a dy 0 X dxa1 0b xb 1b 1dya7qdyn3-计算定积分T晋k解 考虑含参变:的积分所确定的函数(9-In 1： x ,dx1x2显然，： o m =丨。根据公式（4）得：,:-1X- 厂dx)1 ： 2X 1X2把被积函数分解为部分公式得到X1- ：X卫 I- - - -1 :：匕X 1X-1 叱/ |1 ：心1 X-1 X-于是、1 J -dX J XdX 1 adx)_1 +a- |h01+ax * J + x- * 101 + x- _11 亠：-1 n 1：ln2 ：24上式在o,1上对积分得到丄巾-1-0d-1 -In - 二 In 2即 1= -1I In 2-44-4从而 I = I n 28

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