放缩法解题技巧
3页1、巧用放缩法解题放缩法是中学数学的常用解题技巧之一,特别适用于思维难度大,构造性强的题目,能全面而综合地考察学生的潜能和后续学习能力,本文归纳了运用放缩法解题的几种常见情况1和三角形有关的放缩法在和三角形有关的问题中,要用到三角形三个角的度数为正,且和为一个定值,再结合放缩法解题例1 已知锐角三角形的三个内角度数为A,B,C,并且满足ABC,用表示AB,BC以及90A中的最小者,则的最大值是_分析 因为,A,B,C是锐角三角形的三个内角度数,所以,AB,BC,90A都大于0,故也大于0,且不超过上面三个式子的值利用这一点对进行放缩解因为A,B,C,是三角形的三个内角度数,所以,ABC180,所以原式,因此,的最大值是15小结 此题求的是“最小者”的最大值,充分体现了放缩法的灵活性,在解题过程中,利用了三角形的内角和为180,以及它们的非负性,从而得到答案2多个变量的放缩法多变量的问题,由于变量较多且相互约束,学生解题时往往顾此失彼,感到难以入手,这类问题有时可以用放缩法解决例2 已知x,y,z为3个非负数,且满足3x2yz5,xyz2,若S2xyz,则S的最大值与最小值的和为( )(A)
2、5 (B)(C)(D)分析 有多个未知数时,不可能对他们同时进行放缩,在这种情况下,一般先归结为1个未知数,再对这1个未知数放缩解 由已知,可得不定方程:小结 此题给了3个未知数,2个方程,本质上是一个不定方程组,可以用一个未知数表示其余2个未知数,从而把多个未知数的放缩归结为1个未知数的放缩3多重放缩法有的问题不是一次放缩就能到位的,往往要经过多次放缩在同一个题目中,这多次放缩的原理往往是类似的例3 求方程的正整数解分析 此题初看好像是一道解不定方程的题,有无数个解,但是,由于x,y,z都是正整数,限定了范围,利用放缩法,结合正整数的离散型,可以得到此题的有限个数的解解 因为x,y,z都是正整数, 同理,对y进行放缩,可得,3y6因为y是正整数,所以,y4或5或6,此时相应的x值不难求出当x3时,同理可求得,y3或4,z值亦可求综上,当1 xyz时,(x,y,z)有4组解:(2,4,12),(2,6,6),(3,3,6),(3,4,4)由于x,y,z在原方程中的地位平等,将上面x,y,z的取值可以调换,实际上原方程的解共有15组小结 多元问题的解题途径一般是从整体考虑,化多元为一元分层次对每一元进行放缩,通过多重放缩,将解的范围逐步缩小,最后利用正整数的离散性将解求出1
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