2013中考数学压轴题函数平行四边形问题11
9页1、2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1,等边ABC的边长为4,E是边BC上的动点,EHAC于H,过E作EFAC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PEEB设ECx(0x2)(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);(2)Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求平行四边形EFPQ的面积(用含的代数式表示);(3)当(2)中 的平行四边形EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围图1动感体验 请打开几何画板文件名“09福州21”,拖动点E在BC上运动,观察面积随x变化的图象,可以体验到,当E是BC的中点时,平行四边形EFPQ的面积最大,此时四边形EFPQ是菱形拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变E的大小,可以体验到,E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2,4,6,3,0思路点拨1如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ,第(1)题作了暗示2通过计算,求出平行四边形面积最大时的x值,准确、规范地画出此时的图形是解第(3)题的关键,此时
2、点E是BC的中点,图形充满了特殊性3画出两个同心圆可以帮助探究、理解第(3)题:过点H的圆,过点C的圆满分解答(1)BE、PE、BF三条线段中任选两条(2)如图2,在RtCEH中,C60,ECx,所以因为PQFEBE4x,所以(3)因为,所以当x2时,平行四边形EFPQ的面积最大此时E、F、P分别为ABC的三边BC、AB、AC的中点,且C、Q重合,四边形EFPQ是边长为2的菱形(如图3) 图2 图3过点E点作EDFP于D,则EDEH如图4,当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时,0r;如图5,当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时,r; 如图6,当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时,r2;如图7,当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时,r2时;如图8,当E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时,r2时 图4 图5 图6 图7 图8考点伸展本题中E是边BC上的动点,设ECx,如果没有限定0x2,那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的?事实上,当x2时,点P就不存在了,平行四边形EFPQ也就不存在了因此平行四
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