数学美欣赏第1章数学的简洁性

1、数学美欣赏(内容选自数学美拾趣、数学聊斋和直观几何)课程简介 了解数学的趣味性，初步懂得数学在理论和实际中的应用，欣赏数学的绚丽多彩的艺术世界. 学习要求1. 用U盘复制电子讲稿，并打印.2. 课后认真阅读讲稿.3. 适当安排若干次课堂独立作业. 做课堂作业时, 允许参考本讲稿, 可以摘录讲稿内容.考核要求1. 进行期中考试和期末考试，均为开卷.2. 期末总评成绩=期中考试成绩50%+期末考试成绩50%.3. 期中考试、期末考试和课堂独立作业中没有任何计算题和证明题，也没有填空题和选择题, 题型均为问答题.第1讲第1章 数学的简洁性序言著名科学家伽利略说过：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”. 简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁. 数学家莫德尔说：在数学美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了. 自然界原本就是简洁的：光是沿直线方向传播的这是光传播的最捷路线. 植物的叶序排布是植物叶子通风、采光最佳的布局. 某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上生长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的. 大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角

2、度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小(顺便一提：金刚石晶体中也蕴含这种角度). 在人体中，人的粗细血管直径之比总是，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少. 生物学家和数学家们(如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等)在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的. 这些最佳、最好、最省、的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐. 宇宙万物如此，数学，它作为用来描述宇宙的文字和工具也应当是简洁与和谐的.诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、，圆的线条明快、简练、对称. 近代数学研究还发现圆的等周极值性质：在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大. 无论是古人，还是今人，人们对圆有着特殊亲切的情感，都因为圆的简洁美. 数学中人们对于简洁的追求是永无止境的：建立公理体系时，人们试图找出最少的几条(抛弃任何多余的赘物)；对命题的证明，人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题的证明在不断地改进)；对计算的方法，人们要求尽量便捷、明快(

3、因而人们不断地在探索计算方法的创新)，数学拒绝繁冗. 正如牛顿所说：数学家不但更容易接受漂亮的结果，不喜欢丑陋的结论，而且他们也非常推崇优美与雅致的证明，而不喜欢笨拙与繁复的推理. 数学大师欧拉曾研究过天平砝码最优(少)配置问题，并且证明了：若有，克的砝码，只允许其放在天平的一端，利用它们可称出之间的任何整数克重物体的重量.例如，当时，我们有4个砝码：克，克，克和克，即克，克，克和克. 利用它们，我们可称出克克(即克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出克，克, 克, , 克的重量. 这由下表可以明白.重量(克)砝码组合重量(克)砝码组合这个问题其实与数的二进制有关. 进而，欧拉还证明了(它与数的三进制有关)：有，克重的砝码，允许其放在天平两端， 利用它们可以称出-之间任何整数克重物体的重量.例如，当时，我们有个砝码：克，克和克，即克，克和克. 利用它们，我们可称出1克克(即克)之间的任何整数克重物体的重量, 即可称出克, 克, 克, , 克的重量. 这由下表可以明白.重量(克)砝码组合重量(克)砝码组合以上两个事实是“以少应付多”的典范，这也是数学简洁性使然. 下面的所谓“省刻度

4、尺问题”, 尽管人们尚未对此得出一般结论，但目前仅有的结果也足以使人倍感兴趣：一根cm长的尺子，只须刻上两个刻度(在cm和cm处)，就可量出cmcm之间任何整数厘米长的物体长，即可量出cm，cm，cm，cm，cm和cm的长度(下简称“完全度量”). 若用表示从量到的话，那么具体度量如下：()，()，()，()，()，(). 一根cm的尺子，只须在cm，cm，cm和cm四处刻上刻度，便可完成cm的完全度量. 具体度量如下：(), (), (), (), (), (), (), (), (), (), (), (), ().对于cm的尺子，只须刻上六个刻度，即在：cm，cm，cm，cm，cm和cm；或者cm，cm，cm，cm，cm和cm处刻上刻度，可完成cm的完全度量. 对于cm的尺子来讲，也只须六个刻度：cm，cm，cm，cm，cm和cm， 便可完成cm的完全度量. 一根cm的尺子，只须在cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm和cm处刻上八个刻度，便可完成cmcm的完全度量. 对于cm的尺子， 刻上九个刻度：cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm和cm，即可完成cm的完全度量.

5、 这类问题与应用数学中所谓最优化方法有关，这门学科的核心是最省、最好(对效益讲是最大).用“少”去表现“多”，或者求极大、极小等，均是数学简洁性的另类表现. 比如“植树问题”. 英国数学家、物理学家牛顿曾经很喜欢下面一类题目：棵树栽行，每行栽棵，如何栽? 乍看此题似乎无解，其实不然，看了左下图(图中黑点表示树的位置，下同)，你会恍然大悟！牛顿还发现：棵树每行栽棵，可栽行数的最大值不是，而是，见右上图. 左下图给出棵树，栽行，每行栽棵的栽法. 其实，棵树，每行栽棵，可栽的最多行数也不是，而是，见右上图. 英国数学家、逻辑学家道奇生在其童话名著艾丽丝漫游仙境中也提出下面一道植树问题：棵树，栽成行，每行栽棵，如何栽? 此题答案据说有种之多，下面诸图给出了其中的几种. 十九世纪末，英国的数学游戏大师杜登尼在其所著个趣味数学难题中也提出了下面的问题：棵树，栽成行，每行栽棵，如何栽? 杜登尼的答案见左下图. 美国趣味数学大师山姆洛伊德曾花费大量精力研究“棵树，每行栽棵，至多可栽多少行”，他给出了可栽行的答案，见右下图. 几年前人们借助于电子计算机给出了上述问题可栽行的最佳方案，见左下图. 稍后曾见

6、报载，国内有人给出可栽行的方案(右上图)，然而严格的验证工作恐非易事这些点是否真的共线? 既便结论无误，但它是否是可栽的最多行数，人们尚不得而知. 在英国数学家薛尔维斯特在临终前几年(1893年)提出了一个貌似简单的问题：对于在平面上不全共线的任意个点，总可以找到一条直线，使其仅过其中的两个点. 直到1933年，人们才找到一个繁琐的证明. 此后，1944年、1948年又先后有人给出了证明. 1980年前后，美国科学新闻杂志重提旧事时，又一次向人们介绍了薛尔维斯特问题和凯利于1948年给出的证明. 我们很容易体会到：一个定理(或习题)证明(或解法)的简化，将认为是做了一件漂亮的工作，即它是美妙的. 由于简洁，数学语言(包括图形)不仅能描述世界上的万物，而且也能为世界上所有文明社会所接受和理解，甚至还将成为与其它星球上的居民(如果存在的话)交流思想的工具. 在为美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“先驱者号飞船”(探测器)征集所携带的礼物时，我国已故著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示勾股定理(毕达哥拉斯定理)的简单、明快的数形图，它似乎应为宇宙所有文明生物所理解. 数学中的简洁性

7、的例子是不胜枚举的：比如三角形，尽管它有千姿百态，但人们却可用(为底边长，为该边上高)或海伦公式(p为三角形半周长)去表达所有三角形的面积. 数学的简洁性系指其抽象性、概括性和统一性. 正是因为数学具有抽象性和统一性，因而其形式应当是简单的. 实现数学的简单性(抽象、统一)的重要手段是使用数学符号. 附录 有趣的数制十进制数 特点: 十进制数由十个数字组成.二进制数.,特点: 二进制数由两个数字和组成.三进制数.特点: 三进制数由两个数字,和组成.前面讲过, 利用四个砝码: , , , , 可以称出的整数克重量. 把重量用二进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式.用四个砝码, , , 可以称出的整数克重量重量(克)重量的二进制表示砝码组合重量(克)重量的二进制表示砝码组合前面还讲过, 利用三个砝码: , , , 可以称出的整数克重量(允许砝码放在天平的两个托盘中). 把重量用三进制表示, 可以得到相应的砝码组合方式. 下表中加下标的数(如)表示三进制数, 不加下标的数为十进制数.用三个砝码, , 可以称出的整数克重量重量(克)凑数前两数之和砝码组合重量(克)凑数前两数之和砝码组合1.1

8、 数学符号人总想给客观事物赋予某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、技术、文化、艺术、. 符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的. 文字是表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”. 这些符号的组合便是语言. 人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号. 符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力. 没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的. 数学语言是困难的，但又是永恒的(纽曼语). 数是数学乃至科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字. 正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱. 古代数学的漫长历程, 今日数学的飞速发展，十七世纪、十八世纪欧洲数学的兴起, 我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上都归咎于数学符号的运用得当与否. 简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，是何等重要! 反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算. 然而，数学符号的产生、使用和流传却经历了一个十分漫长的过程. 在这个过程中，始终贯穿着人们对于自然、和谐与美的追求. 古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一. 早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过, 他们用的是“单位分数”(分子是1的分数). 此外，他们还能计算直线形和圆的面积. 他们知道了圆周率约为，同时也懂得了棱台和球的体积计算等. 可是，他们却是用下面的符号记数

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