精选数论知识点Word版
8页1、进制1.十进制:我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制,八进制,十六进制等。2.二进制:在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。因此,二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为:(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则:“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是:零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。注意:对于任意自然数n,我们有n0=1。3.进制:一般地,对于k进位制,每个数是由0,1,2,共k个数码组成,且“逢k进一”进位制计数单位是,如二进位制的计数单位是,八进位制的计数单位是,4.进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式十进制表示形式:;二进制表示形式:;为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上,表示是进位制的数如:,,分别表示八进位制,二进位制,十二进位制中的数5.进制的四则混合运算和十进制一样先乘除,后加减;同级运算,先左后右;有括号时先计
2、算括号内的。二、进制间的转换:一般地,十进制整数化为进制数的方法是:除以取余数,一直除到被除数小于为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为进制数反过来,进制数化为十进制数的一般方法是:首先将进制数按的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果余数定理:1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+1639除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23167除以5的余数等于2,两个余数差312.当余数的差不够减时时,补上除数再减。例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23149除以5的余数等于4,两个余数差为35443.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c
3、所得的余数。例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以2316除以5的余数等于313。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以2319除以5的余数等于34除以5的余数,即2.乘方:如果a与b除以m的余数相同,那么与除以m的余数也相同同余定理1、 定义整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即 ab(modm)2、 同余的重要性质及举例。1aa(modm)(a为任意自然);2若ab(modm),则ba(modm)3若ab(modm),bc(modm)则ac(modm);4若ab(modm),则acbc(modm)5若ab(modm),cd(modm),则ac=bd(modm);6若ab(modm)则anbm(modm)其中性质3常被称为同余的可传递性,性质4、5常被称为同余的可乘性,性质6常被称为同余的可开方性注意:一般地同余没有可除性,但是:如果:ac=bc(modm)且(c,m)=1则ab(modm)3、 整数分类:1用2来将整数分类,分为两类:1,3,5,7
4、,9,(奇数);0,2,4,6,8,(偶数)2用3来将整数分类,分为三类:0,3,6,9,12,(被3除余数是0)1,4,7,10,13,(被3除余数是1)2,5,8,11,14,(被3除余数是2)3在模6的情况下,可将整数分成六类,分别是:0(mod6):0,6,12,18,24,1(mod6):1,7,13,19,25,2(mod6):2,8,14,20,26,3(mod6):3,9,15,21,27,4(mod6):4,10,16,22,29,5(mod6):5,11,17,23,29,完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数,则p能被整除。2.性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶
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