大一微积分下册经典题目与解析

1、微积分练习册第八章多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）函数的定义域是_（6）函数的定义域是_(7)函数的定义域是_（8）函数的间断点是_2.求下列极限：（1） (2)(3)3.证明4.证明：极限不存在5.函数在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设，则;（2）设，则;（3）设，则;（4）设，则（5）设，则;（6）设在点处的偏导数存在，则2.求下列函数的偏导数3.设，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设，求和5.，试化简6.试证函数在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司X、Y现在的销售量分别是100个单位和250个单位。（1） X和Y当前的价格弹性是多少？（2） 假定Y降价后，使增加到300个单位，同时导致X的销量下降到75个单位，试问X公司产品的交叉价格弹性是多少？(利用弧交叉弹性公式：2.假设市场由A、B两个人组成，他们对商品X的需求函数分别为：（1）商品

2、X的市场需求函数；（2）计算对商品X的市场需求价格弹性；若Y是另外一种商品，是其价格，求商品X对Y的需求交叉弹性3.求下列函数的全微分（1）（2）设，求（3），求当的全增量和全微分4.计算的近似值习题8-4多元复合函数的求导法则1.填空题（1）设而，则（2）设而，则（3）设,而，则（4）设,而，则（5）设，则（6），则（1）2.设具有二阶连续导数，求3.设具有二阶连续偏导数，求4.设，具有二阶连续偏导数，求.5.设，具有二阶连续偏导数，求7.设与有二阶连续导数，且，证明：习题8-5隐函数的求导公式1.填空题：（1）设，则（2）设，则（3）设，则（4）设，则2.设，求3.设，求4.设，求5.设，求6.设，而是由方程所确定的的函数，求7.设由方程确定，F具有一阶连续偏导数，证明：8.设，都是由方程所确定的有连续偏导数的函数，证明：习题8-6多元函数的极值及其应用1.填空题：（1）z驻点为_（2）的极_值为_（3）的极_值为_（4）在适合附加条件下的极大值为_（5）在上的最大值为_，最小值为_2.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.班级：学号：3.旋转抛物面被平面截成一

3、椭圓，求原点到该椭圆的最长与最短距离微积分练习册第八章多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为，求使产鱼总量最大的放养数班级：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q为产出量：若生产函数为，其中为正常数，且，假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册第九章二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1.填空题（1）当函数在闭区域D上_时，则其在D上的二重积分必定存在（2）二重积分的几何意义是_（3）若在有界闭区域D上可积，且，当时，则；当时，则（4），其中是圆域的面积，（注：填比较大小符号）2.比较下列积分的大小：(1)与其中积分区域D是由轴，轴与直线所围成(2)与，其中3.估计下列积分的值（1），其中（2），其中4求二重积分5.利用二重积分定义证明（其中为常数）习题9-2利用直角坐标计算二重积分1.填空题（1）其中(2)其中D：顶点分别为的三角形闭区域(3)将二重积分，其中D是由轴及上半圆周所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_（4）将

4、二重积分，其中D是由直线及双曲线所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_（5）将二次积分改换积分次序，应为_（6）将二次积分改换积分次序，应用_（7）将二次积分改换积分次序，应为_（8）将二次积分，改换积分次序，应为_2.计算下列二重积分：(1),其中 (2),其中D是由直线，及所围成的闭区域. (3),其中3.计算二次积分4.交换积分次序，证明：5.求由曲面及所围成的立体的体积.习题9-3利用极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分;（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分2.计算下列二重积分(1),其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.(2),其中D是由曲线与直线所围成的闭区域.(3),其中D是由圆周所围成的闭区域(4)(2),其中(2).3.计算二重积分，其中D由不等式确定（注意选用适当的坐标）4.计算以面上的圆周围成的区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册第十章微分方程与差分方程习题10-1微分方程的基本概念1.填空题（1）方程称为_阶微分方程（2）设是方程的通解，则任意常数的个数n=_（3）设曲线上任一点的切线垂直于此

5、点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程_（4）设曲线上任一点的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a，则曲线所满足的微分方程_（5）某人以本金元进行一项投资，投资的年利率为，若以连续复利计，t年后资金的总额为（6）方程可化为形如_微分方程2.已知满足微分方程，问C和K的取值应如何？3.、若可导函数满足方程，将（1）式两边求导，得易知为任意常数）是（2）的通解，从而为（1）的解，对吗？4.证明：是微分方程的通解.习题10-2一阶微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1） (2) (3)2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）（2）3镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量R与时间的函数关系微积分练习册第十章微分方程与差分方程习题10-2一阶微分方程（二）1.填空题（1）设是的一个解，Y是对应的齐次方程的通解，则该方程的通解为_（2）是方程的一个特解，则其通解为_（3）微分方程作变换_可化为一阶线性微分方程（4）的通解为_（5）的通解为_2.求下列微分方程的通解：(1) (2)3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：4.用适当

6、的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（1） (2)5.已知一曲线过原点，且它在点处切线的斜率等于，求该曲线的方程6.设可微且满足关系式,求习题10-3一阶微分方程在经济学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为，且当P=1时，需求量Q=1(1)求商品对价格的需求函数（2）当时，需求量是否趋于稳定？2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性，而市场对该商品的最大需求量为1万件，求需求函数3.已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格P的函数：其中为常数，价格P是时间的函数，且满足为正常数）假设当时，价格为1，试求：(1) 需求量等于供给量的均衡价格(2) 价格函数(3)4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻已掌握新技术人数为，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数求5.某银行，以连续复利方式计息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一支付职工工资。若以年为单位，写出余额所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B为多少时，才能使20年后中的余额精确地

7、减至0.习题10-4可降阶的二阶微分方程1.填空题（1）微分方程的通解为_.（2）微分方程的通解为_._（3）微分方程的通解为_.（4）微分方程的通解为_.（5）微分方程的通解为_.（6）设与是方程的特解，则其方程的通解为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解3.求下列微分方程满足初始条件的特解： (2)4.试求的经过点M(0,1)且在此点与直线相切的积分曲线5.验证及都是方程的解，并写出该方程的通解.6.设函数均是非齐次线性方程的特解，其中为已知函数，而且常数，求证为任意常数）是该方程的通解.7.证明函数是任意常数）是方程的通解.习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）1.填空题（1）微分方程的通解为_.（2）微分方程的通解为_.（3）微分方程的通解为_.（4）微分方程为常数）的通解为_.（5）设为方程的特征方程的两根，则其通解为_.（6）设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)(2) (3)3.求以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程4.方程的一条积分曲线经过点且在该点和直线相切，求这条曲线方程5.求的过（1，0）点，且在此点与相切的积分曲线.习题10-5常系数线性微分方程（二）1.填空题：（1）微分方程的特解可设为型如（2）微分方程的特解可设为型如（3）微方程的特解可设为型如(4)微分方程的特解可设为型如(5)微分方程的特解可设为型如2.求下列微分方程的通解：（1）（2）3.求微分方程满

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