2热传导方程的初值问题
13页1、文档可能无法思考全面,请浏览后下载! 2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy问题) (2.1)偏导数的多种记号.问题(2.1)也可记为.2.1 Fourier变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier变换的基本知识.Fourier变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设是定义在上的函数, 且对任意,在上可积,若积分收敛,则称在上绝对可积。将上绝对可积函数形成的集合记为或,即 ,称为可积函数空间.连续函数空间: 上全体连续函数构成的集合,记为,,。定义2.1 若,那么积分 (2.2)有意义,称为Fourier变换, 称为的Fourier变式(或Fourier变换的象). / 定理2.1 (Fourier积分定理)若,那么我们有 (2.3)公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy主值.通常将由积分所定义的变换称为Fourier逆变换.因此(2.3)亦可写成即一个属于的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把称为的频谱.Fourie
2、r变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理2.1的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,)定理2.2 设,则是有界连续函数,且在运用Fourier变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier变换的性质.Fourier变换的性质:1.(线性性质)若则2.(微商性质)若则证明 由假设故,事实上由,则,因为,故有又因,必有.由,利用分部积分公式附注 这个性质说明微商运算经Fourier变换转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier变换成为解微分方程的重要工具.3.(乘多项式)若则有.证明 由于,故是的连续可微函数,且有附注 作为性质2,3的推论,若则若则4(平移性质)若则证明5.(伸缩性质)若则证明 无妨设由定义6.(对称性质)若则 证明7.(卷积定理)若称为与的卷积,则,且有证明 由积分交换次序定理故,又由积分交换次序定理下面作为例子,我们根据Fourier变
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