九年级数学下册1.4解直角三角形专题讲座素材新版北师大版
10页1、#解直角三角形专题讲座解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研以及究几何图形性质的基础上,根据已知条件,计算直角三角形未知的边长、角度和面积, 与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路因此,锐角三角函在直角三角形中,我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系,是解直角三角形的基础。如图1,在Rt ABC中,/ C= 90,设三个内角 A、B C所对的边分别为 a、b、c (以下字母同),则解直角三角形的主要依据是(1)边角之间的关系:sinA = cosB = , cosA = sinB = , tanA = cotB =,cotA = tanB =(2)两锐角之间的关系:A+ B= 90 。(3)三条边之间的关系:以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路, 就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式,通过解一元方程来求解。2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道,由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中,除直角以外还有三条边及两个
2、锐角共五个元素,那么什么样的直角三角形才可解呢?如果已知两个锐角能否解直角三角形呢?事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系,因为已知两个元素(至少有一个是边) 可以判定直角三角形全等,也可以作出直角三角形, 即此时直角三角形是确定的,所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的, 它们是无数多个相似的直角三角形,因此求不出各边的长。所以, 要解直角三角形,给出的除直角外的两个元素中, 必须至少有一个是边。这样,解直角三角形就分为两大类,即已知 一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下:f已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角AaC =B= 90 A, b= a cotA ,如斜边c及锐角AB= 90 A, a= c si nA , b= c cosAr两边两条直角边a和bG =沪,B= 90 A,- a1直角边a和斜边cH&=-人nr弋,B= 90 A,占弓 乂 a例1、如图2,若图中所有的三角形都是直角三角形,且/A= a , AE= 1,求AB的长。分析一:所求AB是Rt ABC的斜边,但在Rt ABC中只知一
3、个锐角 A= a ,暂不可解。而在Rt ADE中,已知一直角边及一锐角是可解的,所以就从解Rt ADE入手。解法在 Rt ADE中,AEAD且/ A=AE= 1 ,J. AD =AE _1cos A cos 谡vAD在 Rt ADC中,cos ACOS3 cT -1在 Rt ABC 中,.;一,:-J.: :。分析二;观察图形可知,CD CE分别是Rt ABC和Rt ACD斜边上的高,具备应用射影定理的条件,可以利用射影定理求解。:.AD = 解法二:同解法一得,r1T AD2 = AE AC,:. AC =在Rt ACD中,上丄丁T AC2 = AD- AB,AB = 在 Rt ABC中,- - :说明:本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题,总是先解出已经具备条件的直角三角形,从而逐步创造条件,使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是, 由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系,因而在解直角三角形时经常要用 到。在解直角三角形的问题中,经常会遇到这样的图形(图3),它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化,会引起直角三角形中有关图形数量相应的
4、变化, 从而呈现许多不同的解直角三角形的问题,下面举例加以说明。例2、(1)若 BD= ,/ B= 30。,求 AD 的长;(2)若/ ABC= a,/ ADC= 3,求证:tan 3 = 2tan a。(1)分析:由AD是BC边的中线,只知 DC 条边长,仅此无法直接在Rt ADC中求解AD而在 Rt ABC中,由已知 BC边和/ B可以先求出 AC,从而使 Rt ADC可解。解:在 Rt ABC中,BC=2BD=2,/ B= 30, AC= BCtanBI在 Rt ADC中,DC= BD=J2AD = y/AC2 + DC2(2)分析:a和B分别为Rt ABC和 Rt ADC中的锐角,且都以直角边 AC为对边,抓 住图形的这个特征,根据直角三角形中锐角三角比可以证明tan B = 2tan a。证明:在Rt ABC中,,ZABC = :.AC=BCig BC-tLADC = rZADC = .AC = DC tg在 Rt ADC中,一,又T BC= 2DC, tanB = 2ta n a o例3、如图3,在Rt ABC中,/ C= 90, AD是/ BAC的平分线。(1 )若 AB
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