反比例函数题型的综合提优题

1、 第三讲 反比例函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进行联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例1（2010四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图11【答案】.解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y

2、与x的函数关系式为由图象知过点（0，4）与（7，46）.解得,此时自变量的取值范围是07.(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中) 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为.由图象知过点（7,46），. ,，此时自变量的取值范围是7. （2）当=34时，由得,6+4=34，=5 .撤离的最长时间为7-5=2(小时).撤离的最小速度为32=1.5(km/h). (3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.例2、（反比例函数新颖题）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10C，待加热到100C，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(0C)和通电时间x (min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为20C，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；（2）求出图中a的值；（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节

3、下课8：20时能喝到不超过40C的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源（不可以用上课时间接通饮水机电源）时间节次上午7:20到校7:458:20第一节8:309:05第二节二、 反比例函数与翻折结合问题例1如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y（x0）的图象经过点B（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、NABC设线段MC、NA分别与函数y（x0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式 例2如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y（k0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，3），在反比例函数y的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由三、反比例函数中的探究性问题例1（2010 山东省德州

4、） 探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F第1题图1OxyDBAC若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为_；若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为_；(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程OxyDB第1题图2A归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，x=_，y=_（不必证明）运用 在图2中，一次函数与反比例函数xyy=y=x-2ABO第1题图3的图象交点为A，B求出交点A，B的坐标；若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标【答案】解： 探究 (1)(1，0)；(-2，)；(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为ADBOxyDBA， ，则D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得=O=xyy=y=x-2ABOOP即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是AB中点D的坐标为(，)归纳：，运用 由题意得解得或即交点的

5、坐标为A(-1，-3)，B(3，1) 以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) 平行四边形对角线互相平分，OM=OP，即M为OP的中点P点坐标为(2，-2) 同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) 满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) 例2（1）探究新知：如图1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y=（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F，试证明：MNEF；若中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行【答案】（1）证明：分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，则CGADHB90 CGDH ABC与ABD的面积相等， CGDH 四边形CGHD为平行四边形 ABCD （2）证明：连结MF，NE 设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2） 点M，N在反比例函数（k0）的图象上， ， MEy轴，NFx轴， OEy1，OFx2 S

6、EFM， SEFN SEFM SEF N 由（1）中的结论可知：MNEF MNEF 课堂练习达标训练1、若一次函数y2x1和反比例函数y的图象都经过点（1，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标2、已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,2) （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象信息回答问题：在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？（3）M(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3过点M作直线MNx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点C，交直线MB于点D当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长能力提升1、（育才二模）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”. 但对于特定度数的已知角，如90角、45角等，是可以用尺规进行三等分的. 如

7、图a，AOB90，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向AOB内部作等边OCD，作射线OD，再用尺规作出DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将AOB三等分. 仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的MON三等分（已知MON45）. （不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）图b图a数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R. 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到MOB，则MOBAOB. 要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：设、，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）. 图c分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q. 请说明Q点在直线OM上，并据此证明MOBAOB. 2. （2011江苏镇江常州）在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P点E为直线l2上一点，反比例函数y（k0）的

8、图象过点E与直线l1相交于点F（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OEOFEF若k2，且OEF的面积为PEF的面积的2倍，求E点的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点MEF为顶点的三角形与PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题：分类讨论分析：（1）根据反比例函数中k=xy进行解答即可；（2）当k2时，点EF分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形，再求出SFPE=k2k+1，根据SOEF=S矩形OCGDSDOFSEGDSOCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；（3）当k2时，只可能是MEFPEF，作FHy轴于H，由FHMMBE可求出BM的值，再在RtMBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；当k2时，只可能是MFEPEF，作FQy轴于Q，FQMMBE得，可求出BM的值，再在RtMBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标课外练习1、如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A处，AB与轴交于点F。已知OA1，AB2。设CF，则OF_

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