算法对高中数学的渗透
9页1、算法对高中数学的渗透成都市高新实验中学 张平福普通高中数学课程标准(实验)指出:“算法除作为本模块的内容之外,其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中,鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。”新课程不仅开设算法初步专题,而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分. 在高中数学课程中,解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回归方程等,都是算法的典型案例由此可见,算法思想贯穿整个高中数学,算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系.在教学中,要体现数学与算法的有机结合,在学习相应内容的过程中,有意识地引导学生体会算法思想,使他们看到数学在算法设计中的作用,以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。一、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有抽象性、概括性和精确性.在教学时尽量根据问题解决情景培养算法思想,以真正提高学生思维能力.【例1】已知椭圆的离心率为 ,试设计求的算法程序框图.算法分析:信息“椭圆”意味着,离心
2、率需定位方程中4和哪一个是.可用条件结构表现“椭圆焦点在哪个坐标轴上”与“与4的大小”之间的依赖关系,即需判断与4的大小,并据此设计算法,程序框图如下.二、波利亚的“怎样解题表”是数学问题解决的普适性算法按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤: 第一,弄清问题;第二,拟定计划;第三,实现计划;第四,回顾.就这四个步骤而言,波利亚指出:“最糟糕的情况是:学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来,在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下,去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者,数学教师需认真研读波利亚的“怎样解题”.波利亚的“怎样解题”表未知是什么?已知是什么?满足条件是否可能?要缺点未知,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图,引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来?弄清问题第一你必须弄清问题你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题?这里有一个与你现在的问题有关,且早已
3、解决的问题。你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述这个问题?回到定义去。如果你解决所提出的问题,可先解决一个与此相关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知数能确定到什么程度?它回怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有已知的数据?你是否利用了所有条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?拟定计划第二找出已知数与未知数之间的联系.如果找不出直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.实现计划实现你的求解计划,检验每一个步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?第三实现你的计划回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它
4、来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?第四验算所得到的解【例2】(2003年全国卷第21题)已知常数a0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O是AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图15),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.分析:本题高考四川省均分仅1.59,惨不忍睹!很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗?让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受:首先,这个问题虽然不好下手,但从问题情境看,它不是代数问题、不是立体几何问题,肯定是解析几何问题;其次,既然这是解析几何问题,那就应该在坐标系环境下求解,因此要建立恰当的坐标系;第三,给出的图形太对称了,有助于建立坐标系,不妨如下图建系;开始结束问题的信息输入:这是解析几何问题,需建立坐标根据图形的对称性建立恰当的坐标系设置点A、B、C、D、E、F、G、O的坐标建立直线OF和GE的方程,用交轨法求点P的轨迹方程根据点P的轨迹方程判断点P的存在性第四,建立坐标系的目的是什么呢?当
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