第十章习题10.3答案
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10.3格林公式及其应用习题10.31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）其中为由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线；解：（2）其中为由四个顶点分别为和的正方形区域的正向边界；解：2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1）星形线（2）椭圆（3）圆（4）椭圆（5）双纽线3.计算曲线积分其中为圆周的方向为逆时针方向。解：，所以取则有4.计算下列曲线积分：（1）其中为摆线上对应从到的一段弧。解：设直线段，则（2）其中为上半圆周沿逆时针方向。解：设直线段，则5.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，(2)解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，（3）解：易得，所以曲线积分在整个面内与路径无关，6.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）其中为三顶点分别为和的三角形正向边界；解：(2)其中为正向星形线解：(3)其中为在抛物线上由点到的一段弧；解：记（4）其中为在圆周上由点到点的一段弧；解：记(5)其中为椭圆解：(6)其中为圆周解：(7)其中为的边界，其中解：（8）其中为区域与的边界；解：(9)其中为区域与的边界；解：(10)其中为由点经至的上半圆周解：令，则7.设一变力为这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。证明：易得所以结论成立。8.计算曲线积分其中，为任意的逐段光滑的曲线。解：易得，所以9.设是以逐段光滑曲线为边界的平面有界闭区域，在上有连续的偏导数，则有关系式其中为曲线的外法向量的方向余弦。此公式是格林公式的另一种形式。证明：设正方向切向量为，则，于是10.曲线积分是否与路径无关？若与路径无关，求其原函数。并计算由点到的曲线上的积分。解：易得所以积分与路径无关。11.设为封闭曲线，为任一固定的方向，则有其中为的外法线单位法向量。证明：设，则12.计算曲线积分其中为封闭曲线，为它的外法线方向。解：为曲线包围的面积。
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