福建师范大学21秋《复变函数》平时作业一参考答案36

1、福建师范大学21秋复变函数平时作业一参考答案1. 从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。从认识论角度，统计调查属于_，是整个统计工作的基础。感性认识2. 讨论函数f(x)=xex的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，讨论函数f(x)=xe-x的单调性、极值及其图形的凹、凸性、拐点和渐近线，函数f(x)=xe-x的定义域为(-，+)，为非奇非偶函数再求其一、二阶导数： f(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)， f(x)=-e-x(1-x)-e-x=e-x(x-2) 令f(x)=0，得驻点x1=1；没有导数不存在的点 令f(x)=0，得x2=2 讨论f(x)和f(x)的符号，列表如下：(-，1)1(1，2)2(2，+)f(x)+0-f(x)-0+y=f(x)升凸极大值f(1)=e-1降凸拐点(2，2e-2)降凹 再求渐近线 曲线y=f(x)有水平渐近线y=03. 设x2+y2+z2=0，求，.设x2+y2+z2=0，求，.法一 将方程x2+y2+z2-4z=0中的z视为x、y的隐函数，对x求偏导数有 得：； 类似可得： . 法二 令F(x，y，z)=x2+y2

2、+z2-4z 把F(x，y，z)看成三个相互独立变量x，y，z的函数. 则 ，； ； 4. 设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数正确答案：B由于，故f(x)无界，或考察f(x)在xn=的函数值，有，可见f(x)是无界函数，故应选B5. 节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节水洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水(称“加水漂洗脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加水量等)，使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型作出评价6. 下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A By=(x+1)(x-1) C D下列函数在区间

3、-1，1上满足拉格朗日定理条件的是()ABy=(x+1)(x-1)CDB7. 设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0，则1，2，s线性无关B若1，2，s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0C1，2，s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD1，2，s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B8. 求主y3y&39;2y=5，y|x=0=1，y&39;|x=0=2的特解求主y-3y+2y=5，y|x=0=1，y|x=0=2的特解9. 把5项任务分给4个人，如果每个人至少得到1项任务，问：有多少种方式?把5项任务分给4个人，如果每个人至少得到1项任务，问：有多少种方式?方法1 把工作分配看作从5个工作的集合到4个雇员的集合的函数每个雇员至少得到1项工作的分配方案，对应于从工作集合到雇员集合的一个满射函数因此因此存在240种方式来分配工作 方法2 设所有的分配方

4、案构成集合S，雇员i没有得到工作的分配方案构成子集Ai，i=1，2，3，4 那么 |S|=45 |Ai|=35 i=1，2，3，4 |AiAj|=25 1ij4 |AiAjAk|=15 1ijk4 |A1A2A3A4|=0 代入包含排斥原理，得到 10. 试求下列复合函数(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3试求下列复合函数(x，y，z为自变量)的一阶与二阶全微分：u=f(x,y,z),x=t,y=t2,z=t3du=f1dt+f22tdt+f33t2dt=(f1+2tf2+3t2f3)dt d2u=f11dt2+f224t2dt2+f339t4dt2+4f12tdt2+6t2f13dt2+12t3f23dt2+2f2dt2+6tf3dt2=(f11+4t2f22+9t4f33+4tf12+6t2f13+12t3f23+2f2+6tf3)dt2 11. 使用年距增长量和年距增长速度分析问题，可排除_的影响。使用年距增长量和年距增长速度分析问题，可排除_的影响。季节变动12. 试利用逐项积分法求下列幂级数的和：试利用逐项积分法求下列幂级

5、数的和：提示 其答案依次为： 13. 对原始资料审核的重点是_。对原始资料审核的重点是_。资料的准确性14. 若一元连续函数f(x)在区间上只有唯一的极值点a，则当f(a)为极大(小)值时，它必定也是f(x)在该区间若一元连续函数f(x)在区间上只有唯一的极值点a，则当f(a)为极大(小)值时，它必定也是f(x)在该区间上的最大(小)值这一结论能否推广到多元函数上来?正确答案：15. 设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_设P(A)=P(B)=0.4，P(AB)=0.28，则P(AB)=_；P(B|A)=_0.52$0.716. 求(U，V)的相关系数求(U，V)的相关系数正确答案：17. 设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方设矩阵A54的秩为2，1=(1，1，2，3)T，2=(-1，1，4，-1)T和3=(5，-1，-8，9)T均是齐次线性方程组Ax=0的解向量.求方程组Ax=0的解空间的一个标准正交基.解空间的维数为4-r(A

6、)=4-2=2，1，2可作为解空间的基，对1，2用施密特正交化方法，得解空间的标准正交基为：，.18. 设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:设f(x)存在，求下列函数的二阶导数:， $，. 19. 利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数利用微分形式的不变性求下列函数的微分和导数 $ $两边同时求微分得 xdx+ydy=xdy-ydx 移项得 (y-x)dy=-(x+y)dx 解得 ， 20. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-sinfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 21. 试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组特征方程 有2重特征根=0 直接利用矩阵指数函数式 通解为或x=(1+2t)c1+4tc2，y=-tc1+(1-2t)c2其中c1，c2为任意常数$特征方程为 得单根=0，2重特征值=1 对应=0的

7、特征向量满足 ， 其中0为任意常数对应2重特征值=1的特殊向量满足 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 ， 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=u+etE+t(A-E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 $特征方程为 得单根=1，2重特征值=2 对应=1的特征向量满足 其中0为任意常数对应2重特征值=2的特殊向量v满足 ， 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=etu+e2tE+t(A-2E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 22. 设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则 F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v) 23. (x-c)2+(y-c)2=4 求曲线族的包络，并绘出图形：(x-c)2+(y-c)2=4 求曲线族的包络，并绘出图形：由(x-c)2+(yc)2=4，2c=x+y，得(x-y)2=8 见图3.14 24. 证明：若三角级数 中的系数an，bn满足关系 M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。证明：若三角级数中的系数an，bn满足关系M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数

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