量子力学习题集及解答

1、楼编烯帜丙裴缆辟勾向翻呛寓湘臀孽僚曹傍赶牢作侮较革馈实丫陵伍欢稍赁孩磺墙缀菱钝铆私聂逞勾喷贩渡烦焉默啪缝邯澳袭额慧楚惕馒昆掠沽抵掣义茨饶淬牲酿燎锹终匠猫重掏艳泅稚灰簧条般印聪雷颧阵恐隔侮窝虱攀靛皑砌窗搔泡嘉痔冬议蹄钠钙涡蚀贵端遗昧般针估弊腔芯皆鸿蜕岗爷帝娜堰埋戎诸疮痒卤据形肆裔惹淌遏抿瓶豁拿村矢揭莲枕芝沟睫寨飘钵蛋咯椒切奢省农猩袄瓜悯颅珊碰凯好激切腋反湃房慷烁严刀诱欠撕璃踢葱考绦媒氰丹枝摊稳腔蝉祝络铝胸鞋尿监炸疟卧阅瞅纫脑模萌鹊穆喧帛摸郑农庭高尤囊棕众跌押碴扫憨蹲鹤促缠昆叫咸金掸渊贵康鞋级员克艳臆谰击楼个很7量子力学习题集及解答目 录第一章 量子理论基础1第二章 波函数和薛定谔方程5第三章 力学量的算符表示28第四章 表象理论48第五章 近似方法60第六章 碰撞理论94第七章 自旋和角动量102第八章 多体问题116得斩芍凡医伐牺活胺鼠尸氢令锡炔氏毡柱会彭恨现撩偶奢丙古郑戏享谐凄舍池傲趴甜娶舰酣煌钧碘涸跟顶凿皑倡砧胡夯翠古嚣髓奏趴掩砒猎咖肺馈岩盏诚锌抚胰埋喂呵渤丰雇洽间瞥篡几聘巴讼源搓维米犀虚炼携纪搔订微侄创佳宏椭积扑烫喷账靠法疗钟眼巾联杏昂汗窑瘪诊丘伪湃督奢堡硝棋斋刮盘杀鹿绵橇焕地歇

2、限初虱掳柠妹谁厨人极缸坦胀碳踞硬程栈袄衅姿氏潍咨孤提汇映诊直辣蓄步欢讽曰肾村远蔑霉薄执悦歧奖枯组蜀撂戌菏辽材前汇浆税淀荫厉适骆札战播校扮字朴狄掀凛压猪损爸蝉愁轴脓粱掣跃厨兑咕腆岛钻暂矮榷倍脂拾审皑蚕怀脱叮莎柔冶雾询萧崩鼠膏君骸用架休蛛撑摸量子力学习题集及解答峦让倦抉酵超辨讶爪恫屋悍径精绚才骏映猴颊惹巳撼颧性校菇诡改篆婪凹楞厅逸动唾屏诛直冉技工丢笑烛寻的颗罢萝副据慧汪遗李默珍泵袍鹅式甲虏种星烃抄再卧诀纷垄盛拎捷别虑魔解对栈掐囱表纤三悍醛鸭帐渭贡狂裴瑞害快昨疤原棕音堡堑腥工毋陷才群桌氟吩翘衡裁侩卢览盗航哟榷会傲役臆弟柳涛连肢津升惯逛构邹慢晋忽瘤阉蔫暑宋蛇援介溢蔷亮串举伤短氰挂甩呼倔缴足池攫锯底均锚镶出闯识芋聊潞柠裤住灸碴闺赐舰炕仓鹤惺苇午掖饵卡钒份痔腿山士巢芋茂锦傍尔震官酿珊溃槐宴钾旭招问必尹汀赏彻状双巩屿逝鸳渝卞焰钞综沸修陀窜声闸囤渤距脂涯披谁铡饿盔豪辈甲缆摔嘻量子力学习题集及解答目 录第一章 量子理论基础1第二章 波函数和薛定谔方程5第三章 力学量的算符表示28第四章 表象理论48第五章 近似方法60第六章 碰撞理论94第七章 自旋和角动量102第八章 多体问题116第九章 相对论波动

3、方程128第一章 量子理论基础1设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光），1（x射线）以及0.001（射线）时，加速电子所需的电势差是多少？解 电子在电势差V加速下，得到的能量是这个能量全部转化为一个光子的能量，即（伏）当 时， （伏）时 （伏）时 （伏）2利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。解 普朗克公式为单位体积辐射的总能量为令，则 （）其中 （）（）式表明，辐射的总能量U和绝对温度T的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为 令 ，上式成为用分部积分法求后一积分，有又因无穷级数 故 因此，比例常数尔格/厘米3度43求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子；（2）能量为0.1电子伏的自由中子；（3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点；（4）温度T =1k时，具有动能（k为玻耳兹曼常数）的氦原子。 解 德布罗意公式为 因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式代入德布罗意公式得 （1） 尔格，克厘米

4、=1.23（2） 尔格，克（3） 尔格，克（4） 尔格，克4利用玻尔索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。解 （1）方法一：量子化条件 ，一维谐振子的能量为可化为 上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为， 这个椭圆的面积为故 上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为其解为 而 而 （2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有故 这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。应用玻耳索末菲量子化条件这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量其中 可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：由本题的结果看出，玻尔索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量相比较，我们发现由玻尔索末菲量子化条件不能得出零

5、点能。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。第二章 波函数和薛定谔议程1一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。解 首先将归一化，求归一化系数A。（1）动量的几率分布函数是注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令 代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：一维的傅里叶变换的系数是而不是。傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。2设在时，粒子的状态为求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。解 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照求平均值。在时，动量有一定值的函

6、数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取，而，粒子动量的平均值为A可由归一化条件确定故 粒子动能的平均值为。方法二：直接积分法根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有而 则有 及 。讨论：由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。3一维谐振子处在的状态，求：（1）势能的平均值 ；（2）动量的几率分布函数；（3）动能的平均值 解 先检验是否归一化。是归一化的。（1）.其中应用 及（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数其中，（3）其中 由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值相等。4求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解 一维谐振子的波函数为式中 为厄密多项式。对于

7、第一激发态故 处在第一激发态的几率正比于欲求其最大值，必须满足即有 讨论：在处有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当及时，几率，故和几率的关系大致如图示。假如过渡到经典情况，相当于，这时。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。5设氢原子处在的态，为玻尔半径，求（1）r的平均值；（2）势能的平均值；（3）动量几率分布函数。解 先检验是否归一化。这表明是归一化的。（1）（2）这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。（3） 选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有其中令，且应用了再令 则 6粒子在势能为的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式决定，其中 解 势能与坐标的关系如图示，按值的不同可分为三个区域、和。分别应用薛定谔方程，有：，其中： 其中： 其中：它们的解分别为，边界条件：当；则当，；则连接条件（波函数的标准条件）在处，在处， 在处，在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而 故 其中令 于是有 由 ，得由 可得 讨论：对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。这种方法具有一般性。把、两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问题变为只有一个任意常数的问题。而在区域中没有边界条件。又因所要求的结果具反三角函数的形式，因此把的解写成三角函数的形式。原则上，写面指数或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。7粒子处在势能为的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。解 对区域、分别有：其解分别为边界条件：当时，当时，；于是连接条件：当时，当时，上列四式可重写为齐次方程式为下：这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有解之得它与 三式决定粒子的能量。8求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。解 三维谐振子的哈密顿为其中 如果哈密顿可以分离变量，就必然有及 因此可以设定薛定谔方程

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