高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

1、精选优质文档-倾情为你奉上直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角： L ，范围0， 若轴或与轴重合时，=00。2、斜率： k=tan 与的关系：=0=0已知L上两点P1（x1,y1） 0P2（x2,y2） =不存在 k= 当=时，=900，不存在。当时，=arctank，0时，=+arctank3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平于y轴的直线x轴：y=0点斜式P1=(x1,y1) ky-y1=k(x-x1)不含y轴和平行于y轴的直线y轴：x=0两点式P1(x1,y1)P2(x2,y2)不含坐标辆和平行于坐标轴的直线平行于x轴：y=b截距式a、b不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线平行于y轴：x=a过原点：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B不同时为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0） 特别：y=kx+b，表示过（0、b

2、）的直线系（不含y轴）（2）平行直线系：y=kx+b，k为定值，b为参数。AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系（3）过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）6、三点共线的判定：，KAB=KBC，写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行K1=k2且b1b2无解重合K1=k2且b1=b2有无数多解相交K1k2有唯一解垂直K1k2=-1A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L1到L2的角为0，则（）3、夹角：4、点到直线距离：（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C2=0与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是5、对称：（1）

3、点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称（2）点关于线的对称：设p(a、b)对称轴对称点对称轴对称点X轴Y=-xY轴X=m(m0)y=xy=n(n0)一般方法：如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0) 则 Kpp0KL=1P, P0中点满足L方程 解出P0(x0,y0)（思路2）写出过PL的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。PyL P0x（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0关于点P（X0、Y0）的对称直线：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0（4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线f(x、y)=0关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0 关于y=x对称曲线是f(y、x)=0关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0 关于y= -x对称曲线是f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0 关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划 L Y 不等式表示的区域 O X AX+BY+C=0约束条

4、件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程 ，c（a、b）为圆心，r为半径。一般方程：，当时，表示一个点。当时，不表示任何图形。参数方程： 为参数以A（X1，Y1），B（X2，Y2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与r比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0相交、0相切、0相离利用圆心c (a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：dr相交、dr相切dr相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆相切于点（x1、y1）的切线方程是与圆相切于点（x1、y1）的切成方程为：与圆相切于点（x1、y1）的切线是（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p0(x0，y0)是圆 外一点 设切点是p1(x1、y1)解方程组 先求出p1的坐

5、标，再写切线的方程设切线是即再由，求出k，再写出方程。（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）已知斜率的切线方程：设（b待定），利用圆心到L距离为r，确定b。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系同心圆系：，（a、b为常数，r为参数）或：（D、E为常数，F为参数）圆心在x轴：圆心在y轴：过原点的圆系方程过两圆和的交点的圆系方程为（不含C2），其中入为参数若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心在上，故圆的方程为又该圆过、两点解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直

6、平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或又已知圆的圆心的坐标为，半径为3若两圆相切，则或(1)当时，或(无解)，故可得所求圆方程为，或(2)当时，或(无解)，故所求圆的方程为，或说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如又圆，即，其圆心为，半径为3若两圆相切，则故，解之得所以欲求圆的方程为，或上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标又圆与两已知

7、直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线与相切，圆心在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线和的距离相等两直线交角的平分线方程是或又圆过点，圆心只能在直线上设圆心到直线的距离等于，化简整理得解得：或圆心是，半径为或圆心是，半径为所求圆的方程为或说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例4、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为，半径为则到轴、轴的距离分别为和由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为又圆截轴所得弦长为2又到直线的距离为当且仅当时取“=”号，此时这时有或又故所求圆的方程为或解法二：同解法一，得将代入上式得：上述方程有实根，故，将代入方程得又由知、同号故所求圆的方程为或说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆，求过点与圆相切的切线解：点不在圆上， 切线的直线方程可设为根据 解得 所以 即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意

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