2021-2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换教师用书新人教A版必修第一册
35页1、2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换教师用书新人教A版必修第一册55.2简单的三角恒等变换考点学习目标核心素养半角公式的推导了解半角及其推导过程逻辑推理三角恒等变换灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明逻辑推理、数学运算 问题导学预习教材P225P228,并思考以下问题:1如何用cos 表示sin2,cos2和tan2?2半角公式的符号是由哪些因素决定的?1半角公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)(其中tan ) 判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)半角公式对任意角都适用()(2)cos .()(3)对于任意R,sin sin 都不成立()答案:(1)(2)(3) 若cos ,且(0,),则cos 的值为()A.BC D答案:A 已知cos ,则sin 等于()A B.C. D答案:B 已知cos ,且180270,则tan _答案:2应用半角公式求值 已知为钝角,为锐角,且sin ,sin ,求cos 的值【解】因为为钝角,为锐角,sin ,sin ,所以cos ,cos .所以cos()cos cos
2、sin sin .因为且0,所以0,即0.所以cos .利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 ,cos2 计算 1已知sin 且,则sin _解析:因为sin ,所以cos .又,所以sin .答案:2已知cos 2,求tan的值解:因为cos 2,依半角公式得sin ,cos ,所以tan.三角函数式的化简 化简(0)【解】原式.因为0,所以0,所以sin 0,所以原式cos .(变条件)若本例中式子变为(0),则化简后的结果是什么?解:原式.因为0,所以0,所以cos 0,所以原式cos .三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角公式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用另外,还可以用切化
3、弦、变量代换、角度归一等方法(2)化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂等 化简:(0)解:因为tan ,所以(1cos )tan sin ,又因为cossin ,且1cos 2sin2 ,所以原式.因为0,所以0.所以sin 0.所以原式2cos .与三角函数性质有关的问题 已知函数f(x)cos(x)cos cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)求f(x)在上的单调递增区间【解】f(x)(cos x)(sin x)sin 2xcos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期为,最大值为1.(2)令2k2x2k(kZ),即kxk(kZ),所以f(x)在上单调递增,即f(x)在上的单调递增区间是.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 1已知函数f(x)cos2sin21,则f(x)()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数解析:选A.f(x)1sin 2x,是奇函数故选A.2已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值解:(1)因为f(x)sin xcos x2si
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