19.-二次型化为标准形的方法作者:布阿依仙木.买买提木也塞尔指导教师:赛都拉-评价:中
22页1、编号 学士学位论文二次型化为原则形的措施学生姓名: 布阿依仙木.买买提 学 号: 0108 系 部: 数学系 专 业: 数学与应用数学 年 级: 班 指引教师: 木也赛尔.赛都拉 完毕日期: 年 5月 日摘要在本论文中重要简介了二次型,把二次型化为原则形的四种措施。核心词:非退化;特性值与特性向量;正交化与单位化;合同 目录摘要引言.基本概念11 元二次型1二次型的原则型13 线性变换32.化二次型为原则形的措施321配措施32.2正交变换法52.初等变换法92.4雅可比措施11总结1参照文献16道谢17引言我们此前在高等代数里面学过了二次型化为原则形的措施。二次型化为原则形有配措施,正交变换法,初等变换法和雅可比措施等四种措施。它们分散在多种资料。这些措施各有各的特点,根据已知二次型的特点选择合适的措施可以减少运算量。我在本论文中重要简介了配措施,正交变换法,初等变换法,雅可比措施等四种措施。1.基本概念11 元二次型具有个变量的二次齐次函数称为元二次型,简称二次型。当系数是实数时,称为实二次型;当是复数时,称为复二次型,其中在函数中记,则 =,,于是函数可写成 由式,运用矩阵二次型
2、可表达为 若记, 则二次型可表达为矩阵形式:,其中, 任给一种二次型,就唯一拟定一种对称矩阵;反之,任给一种对称矩阵也可唯一拟定一种二次型。这样,实二次型与对称矩阵之间存在一一相应关系,因此,我们把对称矩阵A叫做二次型的矩阵,也把叫做对称矩阵的二次型。对称矩阵A的秩就叫做二次型的秩。12二次型的原则型只具有平方项的二次型 称为二次型的原则形,其中, 1. 线性变换设两组变量与之间有关系式 若记 则关系式可表达为称之为由到的线性变换,称为变换矩阵。若C是正交矩阵,则线性变换=CY称为正交线性变换。当系数行列式,称上述线性变换为非退化的(可逆的)线性变换。否则称之为退化的。 2.化二次型为原则形的措施.1配措施对于一实元二次型通过配方的措施,将二次型化为仅有平方和的形式,其中且。用配措施把二次型化为原则型的一般环节:()若二次型具有的平方项,则先把具有的乘积项合在一起,然后配方;接着再对其他的变量进行同样过程,直到所有变量都配成平方项为止,通过可逆线性变换,就得到原则形。(2)若二次型中不具有平方项,但是,则先作可逆线性变换 化二次型为具有平方项的二次型,然后再按环节(1)配方。例 1 用
3、配措施化二次型为原则形,并求所作的可逆线性变换。解: 由于具有的平方项,配方可得:令 就把化为原则形:就是所作的可逆线性变换。例 用配措施化为二次型为原则形,并求所作的非退化线性变换。解: 由于二次型中没有平方项,无法配方,因此先作一种非退化线性变换,使其浮现平方项,根据运用平方差公式,令 ()将(1)式代入二次型,得 先对具有的项配完全平方,然后对含的项配完全平方,得到 令即 (2)二次型就化成了原则形。即= ()代入(1)得 () ()就是所作的可逆线性变换。 2.2正交变换法定理 对任何给定的二次型总有正交变换,使该二次型化为原则形其中是二次型的矩阵的所有特性值。证明:设二次型的矩阵为,由于A是对称矩阵,并以一定在正交矩阵P,使得其中是矩阵的所有特性值。又由于P是正交矩阵,因此,从而有目前对二次型作正交变换,则二次型这就是二次型的原则形。综合上面的讨论,可以总结出用正交变换把二次型化为原则形的一般环节:()由二次型写出其矩阵。(2)解特性方程,求出矩阵A的所有特性值(3)对每一种相异的,解齐次方程组,得的相应于的线性无关的特性向量。(4)将特性向量正交化,单位化,得记(5)作正交
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